Номер 165, страница 97 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

165. На рисунке 261 две окружности имеют общий центр $O$. К меньшей из них провели перпендикулярные касательные $AB$ и $CD$, пересекающиеся в точке $K$. Найдите радиус меньшей окружности, если $CD = 12$ см, $CK = 2$ см.

Рис. 261

165. На рисунке 261 две окружности имеют общий центр $O$. К меньшей из них провели перпендикулярные касательные $AB$ и $CD$, пересекающиеся в точке $K$. Найдите радиус меньшей окружности, если $CD = 12$ см, $CK = 2$ см.

Обозначим радиус меньшей окружности как $r$. Пусть M и N — точки касания прямых AB и CD с меньшей окружностью соответственно. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OM \perp AB$ и $ON \perp CD$.

По условию, касательные AB и CD перпендикулярны друг другу и пересекаются в точке K, то есть $AB \perp CD$. Рассмотрим четырехугольник ONKM. В нем три угла прямые: $\angle OMK = 90^\circ$, $\angle ONK = 90^\circ$ и $\angle NKM = 90^\circ$. Значит, ONKM — прямоугольник. Так как его смежные стороны OM и ON являются радиусами одной и той же окружности, то $OM = ON = r$. Прямоугольник с равными смежными сторонами является квадратом. Таким образом, ONKM — квадрат, и все его стороны равны $r$, в частности $NK = r$.

Теперь рассмотрим большую окружность. Отрезок CD является ее хордой. Прямая ON, проходящая через центр окружности O, перпендикулярна хорде CD (так как $ON \perp CD$). По свойству хорды, радиус (или диаметр), перпендикулярный хорде, делит ее пополам. Следовательно, точка N является серединой хорды CD.

Длина хорды $CD = 12$ см. Так как N — середина CD, то $CN = ND = \frac{CD}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Из условия задачи нам известно, что $CK = 2$ см. Точки C, K и N лежат на одной прямой. Расстояние NK можно найти как разность длин отрезков CN и CK:

$NK = CN - CK = 6 \text{ см} - 2 \text{ см} = 4$ см.

Как мы установили ранее, $NK = r$. Следовательно, радиус меньшей окружности $r$ равен 4 см.

Ответ: 4 см.