Номер 162, страница 96 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

162. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 4 см. Найдите ГМТ, сумма расстояний от которых до этих прямых меньше 6 см.

162. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 4 см. Найдите ГМТ, сумма расстояний от которых до этих прямых меньше 6 см.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$, расстояние между которыми $h = 4$ см. Нам нужно найти геометрическое место точек (ГМТ) $M$, для которых сумма расстояний до этих прямых меньше 6 см. Обозначим расстояние от точки $M$ до прямой $a$ как $d_a$, а до прямой $b$ как $d_b$. По условию задачи, мы ищем множество точек $M$, удовлетворяющих неравенству:

$d_a + d_b < 6$

Рассмотрим два возможных случая расположения точки $M$ относительно полосы, образованной прямыми $a$ и $b$.

1. Точка M лежит в полосе между прямыми $a$ и $b$, включая сами прямые.

Если точка $M$ находится между параллельными прямыми $a$ и $b$ или на одной из них, то сумма расстояний от этой точки до прямых всегда равна расстоянию между этими прямыми. То есть:

$d_a + d_b = h = 4$ см

Проверим, выполняется ли для этих точек условие задачи: $4 < 6$. Это неравенство верное. Следовательно, все точки, расположенные в полосе между прямыми $a$ и $b$ (включая сами прямые), являются частью искомого ГМТ.

2. Точка M лежит вне полосы, образованной прямыми $a$ и $b$.

Пусть точка $M$ находится вне полосы. Это означает, что одна из прямых, например $a$, лежит между точкой $M$ и другой прямой $b$. Пусть расстояние от точки $M$ до ближайшей к ней прямой (в данном случае $a$) равно $x$. Тогда расстояние от $M$ до другой прямой $b$ будет равно сумме расстояния между прямыми и расстояния от $M$ до $a$, то есть $h + x = 4 + x$.

Сумма расстояний в этом случае равна:

$d_a + d_b = x + (4 + x) = 2x + 4$

Подставим это выражение в наше исходное неравенство:

$2x + 4 < 6$

Решим это неравенство относительно $x$:

$2x < 6 - 4$

$2x < 2$

$x < 1$

Поскольку $x$ представляет собой расстояние, оно должно быть положительным: $x > 0$. Таким образом, мы получаем условие $0 < x < 1$.

Это означает, что искомые точки, лежащие вне исходной полосы, должны находиться на расстоянии менее 1 см от ближайшей к ним прямой ($a$ или $b$).

Объединение результатов

Искомое ГМТ состоит из:

• Всех точек, лежащих в полосе шириной 4 см между исходными прямыми $a$ и $b$.
• Всех точек из двух соседних полос, каждая из которых примыкает к одной из исходных прямых с внешней стороны и имеет ширину 1 см. Границы этих внешних полос, находящиеся на расстоянии 1 см от исходных прямых, не включаются в ГМТ, так как неравенство строгое.

В совокупности эти три области образуют единую открытую полосу, симметричную относительно исходных прямых. Общая ширина этой полосы равна сумме ширин трех частей: $1 \text{ см} + 4 \text{ см} + 1 \text{ см} = 6 \text{ см}$. Эта полоса ограничена двумя прямыми, параллельными исходным, каждая из которых находится на расстоянии 1 см от ближайшей из исходных прямых (с внешней стороны).

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это открытая полоса шириной 6 см, ограниченная двумя прямыми, параллельными данным. Данные прямые лежат внутри этой полосы и делят ее на три части шириной 1 см, 4 см и 1 см.