Номер 156, страница 96 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

156. Дан отрезок $MN$ длиной 3 см. Найдите ГМТ, равноудаленных от точек $M$ и $N$ и находящихся на расстоянии 3 см от прямой $MN$.

156. Дан отрезок $MN$ длиной $3 \text{ см}$. Найдите ГМТ, равноудаленных от точек $M$ и $N$ и находящихся на расстоянии $3 \text{ см}$ от прямой $MN$.

Для нахождения искомого геометрического места точек (ГМТ), необходимо определить множество точек, удовлетворяющих одновременно двум заданным условиям.

1. Первое условие гласит, что искомые точки должны быть равноудалены от точек $M$ и $N$. Геометрическим местом точек, равноудалённых от двух данных точек, является серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Таким образом, все искомые точки лежат на прямой $p$, которая перпендикулярна отрезку $MN$ и проходит через его середину.

2. Второе условие гласит, что искомые точки должны находиться на расстоянии 3 см от прямой $MN$. Геометрическим местом точек, находящихся на заданном расстоянии от прямой, являются две параллельные прямые, расположенные по разные стороны от данной прямой на этом расстоянии. Таким образом, все искомые точки лежат на одной из двух прямых, $l_1$ или $l_2$, которые параллельны прямой $MN$ и удалены от неё на 3 см.

Искомое ГМТ — это пересечение множеств точек, удовлетворяющих первому и второму условиям. Следовательно, нам нужно найти точки пересечения серединного перпендикуляра $p$ с двумя параллельными прямыми $l_1$ и $l_2$.

Поскольку прямая $p$ перпендикулярна прямой $MN$, а прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны прямой $MN$, то прямая $p$ перпендикулярна и прямым $l_1$ и $l_2$. Прямая, перпендикулярная двум различным параллельным прямым, пересекает каждую из них ровно в одной точке.

Следовательно, прямая $p$ пересечёт прямую $l_1$ в одной точке и прямую $l_2$ в другой. Эти две точки и составляют искомое ГМТ.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это две точки, лежащие на серединном перпендикуляре к отрезку $MN$ и находящиеся на расстоянии 3 см от прямой $MN$ (по разные стороны от неё).