Номер 152, страница 95 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

152. В окружности проведены радиусы $OM$, $ON$ и $OK$ (рис. 257). Найдите $\angle MON$, если $\angle ONM = \angle ONK$ и $\angle KON = 62^{\circ}$.

Рис. 257

152. В окружности проведены радиусы $OM$, $ON$ и $OK$ (рис. 257). Найдите $\angle MON$, если $\angle ONM = \angle ONK$ и $\angle KON = 62^\circ$.

Рис. 257

Рассмотрим треугольник $KON$. Так как $OK$ и $ON$ являются радиусами окружности, то $OK = ON$. Следовательно, треугольник $KON$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle OKN = \angle ONK$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому для $\triangle KON$ справедливо равенство:$\angle OKN + \angle ONK + \angle KON = 180^\circ$.Заменяя $\angle OKN$ на равный ему $\angle ONK$, получаем:$2 \cdot \angle ONK + \angle KON = 180^\circ$.

Подставим известное значение $\angle KON = 62^\circ$ и найдем величину угла $\angle ONK$:$2 \cdot \angle ONK + 62^\circ = 180^\circ$$2 \cdot \angle ONK = 180^\circ - 62^\circ$$2 \cdot \angle ONK = 118^\circ$$\angle ONK = \frac{118^\circ}{2} = 59^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $MON$. Он также является равнобедренным, поскольку его стороны $OM$ и $ON$ — радиусы одной и той же окружности ($OM = ON$). Это означает, что углы при его основании равны: $\angle OMN = \angle ONM$.

По условию задачи дано, что $\angle ONM = \angle ONK$. Так как мы уже вычислили, что $\angle ONK = 59^\circ$, то и $\angle ONM = 59^\circ$. Следовательно, в треугольнике $MON$ оба угла при основании равны $59^\circ$.

Зная два угла в треугольнике $MON$, найдем искомый угол $\angle MON$, используя свойство о сумме углов треугольника:$\angle MON + \angle OMN + \angle ONM = 180^\circ$$\angle MON + 59^\circ + 59^\circ = 180^\circ$$\angle MON + 118^\circ = 180^\circ$$\angle MON = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ$.

Ответ: $62^\circ$.