Номер 155, страница 96 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Геометрическое место точек. Окружность и круг. Вариант 4. Упражнения - номер 155, страница 96.

Учебник 2017.

155. На рисунке 259 хорда $ME$ пересекает диаметр $CD$ в точке $A$, $\angle MNA = \angle EFA = 90^\circ$, $\angle MAN = 30^\circ$, сумма длин отрезков $MN$ и $EF$ равна 16 см. Найдите хорду $EM$.

Рис. 259

Учебник 2021.

155. На рисунке 259 хорда $ME$ пересекает диаметр $CD$ в точке $A$, $\angle MNA = \angle EFA = 90^\circ$, $\angle MAN = 30^\circ$, сумма длин отрезков $MN$ и $EF$ равна 16 см. Найдите хорду $EM$.

Рис. 259

Решение.

Решение 2 (2021).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔMNA$, так как по условию $∠MNA = 90°$. В этом треугольнике катет $MN$ лежит напротив угла $∠MAN = 30°$. По определению синуса в прямоугольном треугольнике имеем:

$sin(∠MAN) = \frac{MN}{AM}$

Отсюда можем выразить длину катета $MN$ через гипотенузу $AM$:

$MN = AM \cdot sin(30°)$

Поскольку значение $sin(30°) = \frac{1}{2}$, получаем:

$MN = \frac{1}{2}AM$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔEFA$, так как по условию $∠EFA = 90°$. Углы $∠MAN$ и $∠EAF$ являются вертикальными, а значит, они равны:

$∠EAF = ∠MAN = 30°$

В треугольнике $ΔEFA$ катет $EF$ лежит напротив угла $∠EAF = 30°$. Аналогично первому случаю, запишем:

$sin(∠EAF) = \frac{EF}{AE}$

Выразим длину катета $EF$ через гипотенузу $AE$:

$EF = AE \cdot sin(30°) = \frac{1}{2}AE$

По условию задачи нам дана сумма длин отрезков $MN$ и $EF$:

$MN + EF = 16$ см

Подставим в это уравнение найденные выражения для $MN$ и $EF$:

$\frac{1}{2}AM + \frac{1}{2}AE = 16$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобку:

$\frac{1}{2}(AM + AE) = 16$

Так как точка $A$ лежит на хорде $ME$ (является точкой пересечения хорды и диаметра), то длина хорды $ME$ равна сумме длин отрезков $AM$ и $AE$:

$ME = AM + AE$

Подставив это в наше уравнение, получим:

$\frac{1}{2}ME = 16$

Для нахождения длины хорды $ME$ умножим обе части уравнения на 2:

$ME = 16 \cdot 2 = 32$ см

Ответ: 32 см.