Номер 161, страница 96 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

161. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 2,5 см. Найдите ГМТ, сумма расстояний от которых до этих прямых равна 4 см.

161. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 2,5 см. Найдите ГМТ, сумма расстояний от которых до этих прямых равна 4 см.

Пусть даны две параллельные прямые a и b. Расстояние между ними обозначим как h, по условию h = 2,5 см. Требуется найти геометрическое место точек (ГМТ), для каждой из которых (обозначим её M) сумма расстояний до прямых a и b равна 4 см. Пусть d_a — расстояние от точки M до прямой a, а d_b — расстояние от точки M до прямой b. Согласно условию задачи, должно выполняться равенство: $d_a + d_b = 4$ см.

Рассмотрим все возможные расположения точки M в плоскости относительно прямых a и b.

1. Точка M находится в полосе между прямыми a и b.
Если точка M расположена между параллельными прямыми, то сумма расстояний от этой точки до прямых всегда равна расстоянию между самими прямыми.
В нашем случае: $d_a + d_b = h = 2,5$ см.
Это значение не соответствует условию задачи, так как $2,5 \text{ см} \neq 4 \text{ см}$. Следовательно, в полосе между данными прямыми искомых точек нет.

2. Точка M находится вне полосы, образованной прямыми a и b.
В этом случае точка M расположена по одну сторону от обеих прямых. Это означает, что одна из прямых находится между точкой M и другой прямой.
Предположим, что точка M находится со стороны прямой b, но вне полосы. Тогда расстояние до дальней прямой a будет равно сумме расстояния до ближней прямой b и расстояния между прямыми h.
$d_a = d_b + h$
Подставим это выражение в исходное условие $d_a + d_b = 4$:
$(d_b + h) + d_b = 4$
$2d_b + 2,5 = 4$
$2d_b = 4 - 2,5$
$2d_b = 1,5$
$d_b = 0,75$ см.
Это означает, что все точки, удовлетворяющие условию, должны находиться на расстоянии 0,75 см от прямой b (с внешней стороны полосы). Множество таких точек образует прямую, параллельную b.
Аналогично, если точка M находится со стороны прямой a, но вне полосы, то $d_b = d_a + h$. Подставим это в условие:
$d_a + (d_a + h) = 4$
$2d_a + 2,5 = 4$
$2d_a = 1,5$
$d_a = 0,75$ см.
Это множество точек образует вторую прямую, параллельную a и расположенную на расстоянии 0,75 см от нее с внешней стороны полосы.

Таким образом, искомое геометрическое место точек состоит из двух прямых, параллельных данным.

Ответ: Искомое ГМТ — это пара прямых, параллельных данным, расположенных вне полосы, образованной данными прямыми, на расстоянии 0,75 см от ближайшей к каждой из них прямой.