Номер 166, страница 97 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности. Вариант 4. Упражнения - номер 166, страница 97.

Учебник 2017.

166. На рисунке 262 две окружности имеют общий центр $O$. Через точку $M$ большей окружности проведены касательные $MB$ и $MC$ к меньшей окружности. Найдите $MK$, если радиус большей окружности равен $12$ см, а $\angle BMC = 120^{\circ}$.

Рис. 262

Учебник 2021.

166. На рисунке 262 две окружности имеют общий центр $O$. Через точку $M$ большей окружности проведены касательные $MB$ и $MC$ к меньшей окружности. Найдите $MK$, если радиус большей окружности равен 12 см, а $\angle BMC = 120^\circ$.

Рис. 262

Решение.

Решение 2 (2021).

По условию задачи, две окружности имеют общий центр $O$. Точка $M$ находится на большей окружности, следовательно, отрезок $OM$ является радиусом большей окружности, и его длина составляет $OM = 12$ см.

Из точки $M$ проведены касательные $MB$ и $MC$ к меньшей окружности. Пусть $K$ — точка касания прямой $MC$ с меньшей окружностью (как указано на рисунке). Угол между касательными, $\angle BMC$, равен $120^\circ$. Требуется найти длину отрезка касательной $MK$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OMK$. По свойству касательной, радиус, проведенный из центра окружности в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OK \perp MK$, и треугольник $\triangle OMK$ является прямоугольным с прямым углом $\angle OKM = 90^\circ$.

По свойству двух касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезок, соединяющий эту точку с центром окружности, является биссектрисой угла между касательными. Таким образом, $OM$ — биссектриса угла $\angle BMC$.

Найдем величину угла $\angle OMK$:
$\angle OMK = \frac{1}{2} \angle BMC = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник $\triangle OMK$, в котором известны:
- гипотенуза $OM = 12$ см;
- угол $\angle OMK = 60^\circ$.

Катет $MK$ является прилежащим к углу $\angle OMK$. Для его нахождения воспользуемся определением косинуса в прямоугольном треугольнике:
$\cos(\angle OMK) = \frac{MK}{OM}$

Выразим из этой формулы $MK$:
$MK = OM \cdot \cos(\angle OMK)$

Подставим известные значения:
$MK = 12 \cdot \cos(60^\circ)$

Поскольку $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:
$MK = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

Ответ: 6 см.