Номер 167, страница 97 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

167. На рисунке 263 прямые $NA$, $NB$ и $DF$ касаются окружности в точках $A$, $B$ и $E$ соответственно. Найдите периметр треугольника $NDF$, если $NB = 8$ см.

Рис. 263

167. На рисунке 263 прямые $NA$, $NB$ и $DF$ касаются окружности в точках $A$, $B$ и $E$ соответственно. Найдите периметр треугольника $NDF$, если $NB = 8$ см.

Рис. 263

Периметр треугольника $NDF$ ($P_{NDF}$) определяется как сумма длин его сторон: $P_{NDF} = ND + DF + FN$.

Для решения задачи воспользуемся свойством отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки. Согласно этому свойству, длины отрезков касательных от внешней точки до точек касания равны.

Применительно к нашему рисунку, это означает:

• Для точки $N$: отрезки касательных $NA$ и $NB$ равны. То есть, $NA = NB$.
• Для точки $D$: отрезки касательных $DE$ и $DB$ равны. То есть, $DE = DB$.
• Для точки $F$: отрезки касательных $FE$ и $FA$ равны. То есть, $FE = FA$.

Сторона $DF$ треугольника состоит из двух отрезков: $DF = DE + FE$. Подставим это в формулу периметра: $P_{NDF} = ND + (DE + FE) + FN$.

Теперь, используя равенства, полученные из свойства касательных, заменим в формуле периметра $DE$ на $DB$ и $FE$ на $FA$: $P_{NDF} = ND + DB + FA + FN$.

Сгруппируем слагаемые следующим образом: $P_{NDF} = (ND + DB) + (FN + FA)$.

Из рисунка видно, что сумма $(ND + DB)$ равна длине всего отрезка $NB$, а сумма $(FN + FA)$ равна длине всего отрезка $NA$. Следовательно, формула периметра принимает вид: $P_{NDF} = NB + NA$.

По условию задачи $NB = 8$ см. Поскольку $NA = NB$, то $NA$ также равно 8 см. Вычислим периметр: $P_{NDF} = 8 \text{ см} + 8 \text{ см} = 16 \text{ см}$.

Ответ: 16 см.