Номер 169, страница 98 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

169. Из точки $O$, принадлежащей биссектрисе $BM$ треугольника $ABC$, проведены перпендикуляры $OK$ и $OF$ соответственно к сторонам $AB$ и $AC$. Докажите, что если $\angle AOK = \angle AOF$, то точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

169. Из точки $O$, принадлежащей биссектрисе $BM$ треугольника $ABC$, проведены перпендикуляры $OK$ и $OF$ соответственно к сторонам $AB$ и $AC$. Докажите, что если $\angle AOK = \angle AOF$, то точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Доказательство

Центром вписанной в треугольник окружности является точка, равноудаленная от всех его сторон. Чтобы доказать, что точка $O$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$, нам нужно показать, что расстояния от точки $O$ до сторон $AB$, $AC$ и $BC$ равны.

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AOK$ и $\triangle AOF$.

По условию задачи, $OK$ и $OF$ — перпендикуляры к сторонам $AB$ и $AC$ соответственно. Следовательно, $\triangle AOK$ и $\triangle AOF$ являются прямоугольными с прямыми углами $\angle AKO = 90^\circ$ и $\angle AFO = 90^\circ$.

В этих треугольниках:

- $AO$ — общая гипотенуза.

- $\angle AOK = \angle AOF$ (по условию).

Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, $\triangle AOK \cong \triangle AOF$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $OK = OF$.

Также из равенства треугольников следует, что $\angle KAO = \angle FAO$, а это значит, что $AO$ является биссектрисой угла $\angle BAC$.

2. Используем свойство точки, лежащей на биссектрисе угла.

По условию, точка $O$ принадлежит биссектрисе $BM$ угла $\angle ABC$. Любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Расстояние от точки $O$ до стороны $AB$ равно длине перпендикуляра $OK$.

Проведем перпендикуляр $OP$ к стороне $BC$. Расстояние от точки $O$ до стороны $BC$ равно длине перпендикуляра $OP$.

Так как точка $O$ лежит на биссектрисе $BM$ угла $\angle ABC$, то расстояния от нее до сторон $AB$ и $BC$ равны: $OK = OP$.

3. Сделаем вывод.

Из первого пункта мы получили, что $OK = OF$.

Из второго пункта мы получили, что $OK = OP$.

Объединяя эти два равенства, получаем: $OK = OF = OP$.

Это означает, что точка $O$ равноудалена от всех трех сторон треугольника $ABC$. Точка, равноудаленная от сторон треугольника, является центром вписанной в него окружности.

Таким образом, точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.