Номер 176, страница 99 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

176. Постройте касательную к данной окружности, образующую с данной прямой угол $45^{\circ}$. Сколько решений имеет задача?

176. Постройте касательную к данной окружности, образующую с данной прямой угол $45^\circ$. Сколько решений имеет задача?

Для решения этой задачи необходимо выполнить построение и проанализировать количество возможных решений.

Пусть дана окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и произвольная прямая $a$.

Анализ. Искомая касательная $t$ должна образовывать с прямой $a$ угол 45°. В плоскости существует два различных направления, образующих с данной прямой $a$ угол 45°. Эти два направления взаимно перпендикулярны. Для каждого из этих направлений можно построить две параллельные касательные к окружности. Таким образом, задача сводится к построению касательных к окружности, параллельных двум заданным направлениям.

Алгоритм построения:

1. Определение направлений.
   • На прямой $a$ выберем произвольную точку $P$.
   • Через точку $P$ построим прямую $p$, перпендикулярную прямой $a$.
   • Построим биссектрисы $d_1$ и $d_2$ прямых углов, образованных пересечением прямых $a$ и $p$. Прямые $d_1$ и $d_2$ задают два искомых направления, каждое из которых образует угол 45° с прямой $a$.
2. Построение первой пары касательных.
   • Проведем через центр окружности $O$ прямую $n_1$, перпендикулярную направлению $d_1$.
   • Прямая $n_1$ пересечет окружность в двух точках: $T_1$ и $T_2$.
   • Через точки $T_1$ и $T_2$ проведем прямые $t_1$ и $t_2$, перпендикулярные прямой $n_1$ (и, следовательно, радиусам $OT_1$ и $OT_2$). Прямые $t_1$ и $t_2$ являются касательными к окружности и параллельны направлению $d_1$.
3. Построение второй пары касательных.
   • Аналогично, проведем через центр $O$ прямую $n_2$, перпендикулярную направлению $d_2$.
   • Прямая $n_2$ пересечет окружность в двух точках: $T_3$ и $T_4$.
   • Через точки $T_3$ и $T_4$ проведем прямые $t_3$ и $t_4$, перпендикулярные прямой $n_2$. Прямые $t_3$ и $t_4$ являются касательными к окружности и параллельны направлению $d_2$.

Прямые $t_1, t_2, t_3, t_4$ являются искомыми касательными, так как они касаются данной окружности и образуют с прямой $a$ угол 45°.

Ответ: Алгоритм построения описан выше.

Чтобы определить количество решений, проанализируем выполненное построение.

1. Существует ровно два различных направления ($d_1$ и $d_2$), образующих угол 45° с данной прямой $a$.
2. Для каждого направления существует ровно две различные касательные к окружности, параллельные этому направлению. Эти касательные располагаются по разные стороны от центра окружности.
3. Таким образом, для направления $d_1$ мы получаем две касательные ($t_1$ и $t_2$), и для направления $d_2$ мы получаем еще две касательные ($t_3$ и $t_4$).
4. Поскольку направления $d_1$ и $d_2$ взаимно перпендикулярны, то и пары касательных $(t_1, t_2)$ и $(t_3, t_4)$ взаимно перпендикулярны. Это гарантирует, что все четыре построенные касательные различны.

Данное построение всегда выполнимо, независимо от взаимного расположения окружности и прямой. Следовательно, задача всегда имеет ровно четыре решения.

Ответ: Задача имеет 4 решения.