Номер 178, страница 99 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

178. Постройте равнобедренный треугольник по высоте, проведённой к основанию и углу при основании.

178. Постройте равнобедренный треугольник по высоте, проведённой к основанию и углу при основании.

Для построения равнобедренного треугольника по заданной высоте, проведённой к основанию, и заданному углу при основании, необходимо выполнить анализ задачи, который приведёт к плану построения.

Пусть искомый равнобедренный треугольник — это $\triangle ABC$ с основанием $AC$. Пусть $h$ — данная высота, а $\alpha$ — данный угол при основании. Высота, проведённая к основанию, пусть будет $BH$. Тогда $BH = h$ и $\angle BAC = \alpha$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой. Это значит, что $BH \perp AC$ и $AH = HC$. Следовательно, высота $BH$ делит $\triangle ABC$ на два равных прямоугольных треугольника: $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. В нём нам известны:

• Катет $BH$, который равен заданной высоте $h$.
• Угол $\angle BAH$, который равен заданному углу при основании $\alpha$.
• Угол $\angle BHA = 90^\circ$.

Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, мы можем найти второй острый угол $\triangle ABH$:
$\angle ABH = 180^\circ - 90^\circ - \alpha = 90^\circ - \alpha$.

Таким образом, задача сводится к построению прямоугольного треугольника $\triangle ABH$ по катету $BH$ и прилежащему острому углу $\angle ABH$. После его построения, мы можем легко достроить весь равнобедренный треугольник $ABC$.

Алгоритм построения:

1. Проведём произвольную прямую $a$. Выберем на ней произвольную точку $H$.
2. Построим прямую $b$, проходящую через точку $H$ и перпендикулярную прямой $a$.
3. На прямой $b$ от точки $H$ отложим отрезок $BH$, равный заданной высоте $h$.
4. Построим угол, равный $90^\circ - \alpha$. Для этого построим прямой угол, и от одной из его сторон отложим внутрь угол $\alpha$. Оставшаяся часть прямого угла будет искомым углом $90^\circ - \alpha$.
5. От луча $HB$ отложим построенный угол $\angle ABH = 90^\circ - \alpha$. Сторона этого угла пересечёт прямую $a$ в точке $A$.
6. На прямой $a$ отложим от точки $H$ в сторону, противоположную лучу $HA$, отрезок $HC$, равный отрезку $AH$.
7. Соединим точки $A$, $B$ и $C$.

Доказательство:
Построенный треугольник $ABC$ является искомым. Во-первых, он равнобедренный, так как $BH$ является высотой ($BH \perp AC$ по построению) и медианой ($AH=HC$ по построению). Во-вторых, его высота $BH$ равна заданной высоте $h$ по построению. В-третьих, угол при основании $\angle BAC$ равен $\alpha$, так как в прямоугольном $\triangle ABH$ угол $\angle ABH = 90^\circ - \alpha$, следовательно $\angle BAH = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$. Все условия задачи выполнены.

Ответ: Треугольник построен согласно приведённому алгоритму.