Номер 185, страница 99 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

185. Постройте прямоугольный треугольник по сумме катетов и острому углу.

185. Постройте прямоугольный треугольник по сумме катетов и острому углу.

Постройте прямоугольный треугольник по сумме катетов и острому углу.

Пусть нам дан отрезок $S$, равный сумме катетов $a+b$, и острый угол $\alpha$. Искомый прямоугольный треугольник обозначим как $ABC$ с прямым углом при вершине $C$, катетами $BC=a$ и $AC=b$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Для определённости, пусть $\angle A = \alpha$. На продолжении катета $AC$ за точку $C$ отложим отрезок $CD$, равный катету $BC$. Тогда $CD = a$. В результате получим отрезок $AD = AC + CD = b + a = S$.

Рассмотрим треугольник $BCD$. Так как $BC = CD$ и $\angle BCD = 90^\circ$ (как смежный с прямым углом $\angle ACB$), то треугольник $BCD$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Углы при его основании $BD$ равны: $\angle CDB = \angle CBD = (180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. В нем нам известны: сторона $AD = S$, прилежащий к ней угол $\angle DAB = \alpha$ и другой прилежащий угол $\angle ADB = 45^\circ$. Треугольник можно построить по стороне и двум прилежащим к ней углам. Вершина $C$ искомого треугольника является основанием высоты, опущенной из вершины $B$ на прямую $AD$.

Построение

1. Строим прямую и откладываем на ней отрезок $AD$, равный данной сумме катетов $S$.
2. От луча $AD$ в одной полуплоскости строим угол $\angle DAX$, равный данному углу $\alpha$.
3. От луча $DA$ в той же полуплоскости строим угол $\angle ADY$, равный $45^\circ$.
4. Лучи $AX$ и $DY$ пересекаются в некоторой точке $B$.
5. Из точки $B$ опускаем перпендикуляр $BC$ на прямую $AD$.
6. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ угол $\angle C$ прямой по построению. Угол $\angle A$ равен $\alpha$ также по построению. Осталось доказать, что сумма катетов $AC+BC$ равна $S$.

Рассмотрим треугольник $BCD$. В нем $\angle BCD = 90^\circ$ и $\angle BDC = 45^\circ$ по построению. Следовательно, $\angle CBD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Так как $\angle CBD = \angle BDC$, треугольник $BCD$ — равнобедренный, и $BC = CD$.

Сумма катетов построенного треугольника равна $AC+BC$. Поскольку $BC = CD$, то $AC+BC = AC+CD = AD$. По построению длина отрезка $AD$ равна $S$. Таким образом, $AC+BC=S$.

Треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Построение, описанное выше, позволяет получить искомый прямоугольный треугольник.

Сколько решений может иметь задача?

Данный в условии острый угол $\alpha$ может быть одним из двух острых углов прямоугольного треугольника. Пусть острые углы искомого треугольника — $\angle A$ и $\angle B$.

1. Случай 1: Один из острых углов равен $\alpha$. В этом случае второй острый угол равен $90^\circ - \alpha$. Выполнив построение, описанное выше, с углом $\alpha$ при вершине $A$, мы получим единственный треугольник, удовлетворяющий условию.

2. Случай 2: Другой острый угол равен $\alpha$. В этом случае первый острый угол равен $90^\circ - \alpha$. Мы можем выполнить аналогичное построение, но при вершине $A$ откладывать угол, равный $90^\circ - \alpha$. Это также даст единственный треугольник, удовлетворяющий условию.

Сравним решения, полученные в обоих случаях. Треугольник из первого случая имеет углы $(\alpha, 90^\circ - \alpha, 90^\circ)$, а из второго — $(90^\circ - \alpha, \alpha, 90^\circ)$. Эти треугольники конгруэнтны, так как они имеют одинаковый набор углов и одинаковую сумму катетов, что определяет их с точностью до конгруэнтности.

Однако, как фигуры на плоскости, построенные по заданному алгоритму, они будут различными, если $\alpha \neq 90^\circ - \alpha$, то есть $\alpha \neq 45^\circ$. Если $\alpha \neq 45^\circ$, то катеты одного треугольника будут $(x, y)$, а второго — $(y, x)$, где $x \neq y$. Эти два треугольника, хотя и конгруэнтны, являются двумя различными решениями задачи построения.

Если же $\alpha = 45^\circ$, то и второй острый угол равен $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. В этом случае оба случая сводятся к одному и тому же построению, и мы получаем один и тот же равнобедренный прямоугольный треугольник. Таким образом, задача имеет только одно решение.

Ответ: Задача имеет два решения, если данный острый угол не равен $45^\circ$, и одно решение, если данный острый угол равен $45^\circ$.