Номер 1, страница 100 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 1

Тема. Простейшие геометрические фигуры

и их свойства

1. Луч $OD$ проходит между сторонами угла $AOB$. Найдите величину угла $DOB$, если $\angle AOB = 87^\circ$, $\angle AOD = 38^\circ$.

2. Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, равен $63^\circ$. Найдите градусные меры остальных углов.

3. Один из смежных углов на $52^\circ$ больше другого. Найдите эти углы.

4. На рисунке 265 $AB = CD$, $AC = CE$. Докажите, что $BC = DE$.

Рис. 265

5. Углы $ABC$ и $CBD$ — смежные, луч $BM$ — биссектриса угла $ABC$, угол $ABM$ в 2 раза больше угла $CBD$. Найдите углы $ABC$ и $CBD$.

6. Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой, $AB = 15$ см, отрезок $AC$ в 4 раза больше отрезка $BC$. Найдите отрезок $AC$.

Контрольная работа № 1

Тема. Простейшие геометрические фигуры

и их свойства

1. Луч $OD$ проходит между сторонами угла $AOB$. Найдите величину угла $DOB$, если $\angle AOB = 87^\circ$, $\angle AOD = 38^\circ$.

2. Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, равен $63^\circ$. Найдите градусные меры остальных углов.

3. Один из смежных углов на $52^\circ$ больше другого. Найдите эти углы.

4. На рисунке 265 $AB = CD$, $AC = CE$. Докажите, что $BC = DE$.

5. Углы $ABC$ и $CBD$ — смежные, луч $BM$ — биссектриса угла $ABC$, угол $ABM$ в 2 раза больше угла $CBD$. Найдите углы $ABC$ и $CBD$.

6. Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой, $AB = 15 \text{ см}$, отрезок $AC$ в 4 раза больше отрезка $BC$. Найдите отрезок $AC$.

1. Поскольку луч OD проходит между сторонами угла AOB, то величина угла AOB равна сумме величин углов AOD и DOB: $∠AOB = ∠AOD + ∠DOB$. Чтобы найти величину угла DOB, необходимо из величины угла AOB вычесть величину угла AOD.
$∠DOB = ∠AOB - ∠AOD = 87° - 38° = 49°$.
Ответ: 49°.

2. При пересечении двух прямых образуются две пары равных вертикальных углов и четыре пары смежных углов, сумма которых равна 180°.
Пусть один из углов равен $63°$. Угол, вертикальный ему, также равен $63°$.
Два других угла являются смежными с углом в $63°$, поэтому каждый из них равен $180° - 63° = 117°$. Эти два угла также являются вертикальными друг другу.
Таким образом, градусные меры остальных углов: 63°, 117°, 117°.
Ответ: 63°, 117°, 117°.

3. Сумма смежных углов равна 180°. Пусть величина меньшего угла равна $x$. Тогда величина большего угла будет $x + 52°$. Составим уравнение:
$x + (x + 52°) = 180°$
$2x + 52° = 180°$
$2x = 180° - 52°$
$2x = 128°$
$x = 64°$
Следовательно, меньший угол равен $64°$.
Больший угол равен $64° + 52° = 116°$.
Ответ: 64°, 116°.

4. Длина отрезка AC является суммой длин отрезков AB и BC: $AC = AB + BC$. Аналогично, длина отрезка CE является суммой длин отрезков CD и DE: $CE = CD + DE$.
По условию задачи $AC = CE$, следовательно, мы можем приравнять правые части этих выражений:
$AB + BC = CD + DE$
Также по условию $AB = CD$. Заменим в полученном уравнении $CD$ на равный ему отрезок $AB$:
$AB + BC = AB + DE$
Вычитая из обеих частей уравнения длину отрезка $AB$, получаем:
$BC = DE$
Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.

5. Пусть величина угла $∠CBD = x$.
По условию, $∠ABM$ в 2 раза больше $∠CBD$, значит $∠ABM = 2x$.
Поскольку луч BM является биссектрисой угла ABC, он делит его на два равных угла, поэтому $∠ABC = 2 \cdot ∠ABM = 2 \cdot (2x) = 4x$.
Углы ABC и CBD являются смежными, поэтому их сумма равна 180°. Составим и решим уравнение:
$∠ABC + ∠CBD = 180°$
$4x + x = 180°$
$5x = 180°$
$x = 36°$
Таким образом, $∠CBD = 36°$, а $∠ABC = 4 \cdot 36° = 144°$.
Ответ: ∠ABC = 144°, ∠CBD = 36°.

6. Эта задача имеет два возможных решения, так как в условии не уточнено взаимное расположение точек на прямой. Пусть длина отрезка $BC = x$ см, тогда по условию $AC = 4x$ см.

Случай 1: Точка B находится между точками A и C.
В этом случае $AC = AB + BC$. Подставляем известные данные:
$4x = 15 + x$
$3x = 15$
$x = 5$ см.
Длина отрезка AC равна $4x = 4 \cdot 5 = 20$ см.

Случай 2: Точка C находится между точками A и B.
В этом случае $AB = AC + BC$. Подставляем известные данные:
$15 = 4x + x$
$15 = 5x$
$x = 3$ см.
Длина отрезка AC равна $4x = 4 \cdot 3 = 12$ см.
Ответ: 20 см или 12 см.