Номер 183, страница 99 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

183. Дан треугольник $DEF$. Постройте точку, равноудалён-ную от точек $D$ и $E$ и находящуюся на расстоянии 3 смот точки $F$. Сколько решений может иметь задача?

183. Дан треугольник $DEF$. Постройте точку, равноудаленную от точек $D$ и $E$ и находящуюся на расстоянии 3 см от точки $F$. Сколько решений может иметь задача?

Для решения задачи используется метод геометрических мест точек (ГМТ). Искомая точка должна удовлетворять двум условиям:

1. Быть равноудалённой от точек $D$ и $E$.
2. Находиться на расстоянии 3 см от точки $F$.

Рассмотрим каждое условие отдельно.

1. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек ($D$ и $E$), есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки ($DE$). Обозначим эту прямую как $m$.

2. Геометрическое место точек, находящихся на заданном расстоянии (3 см) от данной точки ($F$), есть окружность с центром в этой точке ($F$) и радиусом, равным этому расстоянию ($r = 3$ см). Обозначим эту окружность как $\omega$.

Таким образом, искомая точка (или точки) должна принадлежать одновременно и прямой $m$, и окружности $\omega$. Это означает, что искомые точки являются точками пересечения серединного перпендикуляра к отрезку $DE$ и окружности с центром в $F$ и радиусом 3 см.

Постройте точку

Алгоритм построения искомой точки:

1. Соединить точки $D$ и $E$ отрезком.
2. Построить серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $DE$.
3. Построить окружность $\omega$ с центром в точке $F$ и радиусом 3 см.
4. Точки пересечения прямой $m$ и окружности $\omega$ являются искомыми.

Ответ: Искомая точка является точкой пересечения серединного перпендикуляра к отрезку $DE$ и окружности с центром в точке $F$ и радиусом 3 см.

Сколько решений может иметь задача?

Количество решений зависит от числа точек пересечения прямой $m$ и окружности $\omega$. Это число, в свою очередь, зависит от расстояния $d$ от центра окружности (точки $F$) до прямой $m$ (серединного перпендикуляра к $DE$).

• Если расстояние $d$ меньше радиуса окружности ($d < 3$ см), прямая пересекает окружность в двух точках. В этом случае задача имеет два решения.
• Если расстояние $d$ равно радиусу окружности ($d = 3$ см), прямая касается окружности в одной точке. В этом случае задача имеет одно решение.
• Если расстояние $d$ больше радиуса окружности ($d > 3$ см), прямая и окружность не имеют общих точек. В этом случае задача не имеет решений.

Ответ: Задача может иметь два, одно или ни одного решения.