Номер 177, страница 99 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

177. Постройте равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB = BC$) по биссектрисе угла $A$ и углу, который образует эта биссектриса со стороной $AB$.

177. Постройте равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB = BC$) по биссектрисе угла $A$ и углу, который образует эта биссектриса со стороной $AB$.

Анализ

Пусть искомый равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=BC$) построен. Пусть $AD$ — данная биссектриса угла $A$ (точка $D$ лежит на стороне $BC$), а $\alpha$ — данный угол, который эта биссектриса образует со стороной $AB$, то есть $\angle DAB = \alpha$.

Поскольку $AD$ — биссектриса угла $A$, то $\angle CAD = \angle DAB = \alpha$. Следовательно, весь угол при вершине $A$ равен $\angle BAC = 2\alpha$.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с $AB=BC$, то углы при основании $AC$ равны: $\angle BCA = \angle BAC = 2\alpha$.

Зная два угла треугольника $ABC$, найдем третий. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (2\alpha + 2\alpha) = 180^\circ - 4\alpha$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. В нем известна сторона $AD$ (длина данной биссектрисы), угол $\angle DAB = \alpha$ и угол $\angle ABD = \angle ABC = 180^\circ - 4\alpha$. Третий угол этого треугольника, $\angle ADB$, можно найти из суммы углов треугольника $ABD$:

$\angle ADB = 180^\circ - (\angle DAB + \angle ABD) = 180^\circ - (\alpha + (180^\circ - 4\alpha)) = 180^\circ - \alpha - 180^\circ + 4\alpha = 3\alpha$.

Таким образом, задача сводится к построению треугольника $ABD$ по стороне $AD$ и двум углам ($\angle DAB = \alpha$ и $\angle ADB = 3\alpha$), а затем к достроению его до треугольника $ABC$. Для существования невырожденного треугольника необходимо, чтобы все его углы были положительными, в частности $\angle ABC = 180^\circ - 4\alpha > 0$, откуда следует, что $\alpha < 45^\circ$.

Построение

Пусть дан отрезок $l$ (длина биссектрисы) и угол $\alpha$.

1. Построим отрезок $AD$, равный данному отрезку $l$.

2. От луча $AD$ отложим угол $\angle DAM = \alpha$. На луче $AM$ будет лежать вершина $B$.

3. Построим угол, равный $3\alpha$. Для этого, используя циркуль и линейку, построим сначала угол $2\alpha$, а затем прибавим к нему угол $\alpha$.

4. От луча $DA$ в ту же полуплоскость, где лежит луч $AM$, отложим угол $\angle ADN = 3\alpha$.

5. Точка пересечения лучей $AM$ и $DN$ является вершиной $B$ треугольника. Треугольник $ABD$ построен.

6. Проведем прямую через точки $B$ и $D$.

7. От луча $AD$ в полуплоскость, не содержащую точку $B$, отложим угол $\angle DAC' = \alpha$.

8. Точка пересечения прямой $BD$ и луча $AC'$ является вершиной $C$ искомого треугольника.

9. Соединяем точки $A$, $B$, $C$. Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ отрезок $AD$ является биссектрисой угла $A$ по построению (так как $\angle DAB = \angle DAC = \alpha$). Длина $AD$ равна данной длине $l$, и угол между биссектрисой и стороной $AB$ равен данному углу $\alpha$. Таким образом, все данные из условия задачи использованы. Осталось доказать, что треугольник $ABC$ — равнобедренный с $AB=BC$.

В треугольнике $ABD$ по построению $\angle DAB = \alpha$ и $\angle ADB = 3\alpha$. Следовательно, третий угол $\angle ABD = 180^\circ - (\alpha + 3\alpha) = 180^\circ - 4\alpha$.

Теперь рассмотрим углы треугольника $ABC$. Угол $\angle BAC = \angle DAB + \angle DAC = \alpha + \alpha = 2\alpha$. Угол $\angle ABC = \angle ABD = 180^\circ - 4\alpha$.

Найдем третий угол треугольника $ABC$: $\angle BCA = 180^\circ - (\angle BAC + \angle ABC) = 180^\circ - (2\alpha + (180^\circ - 4\alpha)) = 180^\circ - 2\alpha - 180^\circ + 4\alpha = 2\alpha$.

Поскольку в треугольнике $ABC$ углы $\angle BAC$ и $\angle BCA$ равны $2\alpha$, то этот треугольник является равнобедренным с основанием $AC$, и, следовательно, $AB=BC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: План построения состоит в том, чтобы сначала построить вспомогательный треугольник $ABD$ по данной биссектрисе $AD$ и двум углам $\angle DAB = \alpha$ (дан) и $\angle ADB = 3\alpha$ (вычисляется из условия). Затем находится вершина $C$ на пересечении прямой $BD$ и луча, выходящего из вершины $A$ так, что $\angle DAC = \alpha$.