Номер 181, страница 99 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

181. Постройте треугольник $ABC$ по его биссектрисе $BK$, отрезку $CK$ и углу $BKC$.

181. Постройте треугольник $ABC$ по его биссектрисе $BK$, отрезку $CK$ и углу $\angle BKC$.

Анализ:

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Нам известны его биссектриса $BK$, отрезок $CK$ и угол $\angle BKC$.

Рассмотрим треугольник $BKC$. В этом треугольнике нам известны две стороны ($BK$ и $CK$) и угол между ними ($\angle BKC$, который является смежным с углом между этими сторонами, но знание $\angle BKC$ позволяет однозначно построить треугольник). Таким образом, мы можем построить треугольник $BKC$ по двум сторонам и углу между ними (или, точнее, по двум сторонам и углу, прилежащему к одной из них, зная, что точка C находится с определенной стороны от луча KB). Построив $\Delta BKC$, мы найдем вершины $B$ и $C$ и точку $K$ на стороне $AC$.

Точка $A$ должна лежать на прямой, содержащей отрезок $CK$.

Так как $BK$ — биссектриса угла $\angle ABC$, то $\angle ABK = \angle KBC$. Угол $\angle KBC$ нам известен из построенного треугольника $BKC$. Следовательно, мы можем построить угол $\angle ABK$, равный углу $\angle KBC$.

Вершина $A$ является точкой пересечения прямой $CK$ и луча, выходящего из точки $B$ под углом $\angle ABK$ к отрезку $BK$.

Построение:

1. Строим отрезок $KC$ заданной длины.
2. От луча $KC$ в некоторой полуплоскости откладываем угол, равный данному $\angle BKC$. Обозначим его как $\angle CKM$.
3. На луче $KM$ откладываем отрезок $KB$, равный длине данной биссектрисы.
4. Соединяем точки $B$ и $C$. Получаем треугольник $BKC$.
5. Измеряем угол $\angle KBC$.
6. От луча $BK$ в полуплоскость, не содержащую точку $C$, откладываем угол, равный углу $\angle KBC$. Обозначим его как $\angle KBN$.
7. Проводим прямую через точки $C$ и $K$.
8. Точка пересечения луча $BN$ и прямой $CK$ является искомой вершиной $A$.
9. Соединяем точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство:

В построенном треугольнике $ABC$ отрезок $BK$ является биссектрисой, так как по построению $\angle ABK = \angle KBC$. Длина биссектрисы $BK$, длина отрезка $CK$ и величина угла $\angle BKC$ равны заданным по построению. Вершины $A, K, C$ лежат на одной прямой. Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Построенный треугольник $ABC$ является искомым, так как он удовлетворяет всем условиям задачи. Задача имеет единственное решение, если луч $BA$ и прямая $CK$ пересекаются (то есть, если они не параллельны).