Номер 184, страница 99 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

184. Прямая $b$ пересекает стороны угла $KPD$. Постройте точку, принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и находящуюся на расстоянии $3$ см от прямой $a$. Сколько решений может иметь задача?

184. Прямая $b$ пересекает стороны угла $KPD$. Постройте точку, принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и находящуюся на расстоянии 3 см от прямой $a$. Сколько решений может иметь задача?

Для решения данной задачи используется метод геометрических мест точек (ГМТ). Искомая точка должна одновременно удовлетворять двум условиям:

1. Быть равноудаленной от сторон угла $KPD$.
2. Находиться на расстоянии 3 см от прямой $a$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла, — это его биссектриса. Обозначим биссектрису угла $KPD$ лучом $l$.

Геометрическое место точек, расположенных на расстоянии 3 см от прямой $a$, — это две прямые, $m_1$ и $m_2$, параллельные прямой $a$ и отстоящие от нее на 3 см с разных сторон.

Таким образом, искомые точки — это точки пересечения биссектрисы $l$ с прямыми $m_1$ и $m_2$.

Для построения искомой точки необходимо выполнить следующие шаги:

1. Построить биссектрису $l$ угла $KPD$. С помощью циркуля провести из вершины $P$ дугу произвольного радиуса так, чтобы она пересекла стороны угла (лучи $PK$ и $PD$) в точках $A$ и $B$. Затем из точек $A$ и $B$ провести две дуги одинакового радиуса до их пересечения в точке $C$ внутри угла. Луч $PC$ — это и есть биссектриса $l$.
2. Построить прямые $m_1$ и $m_2$. Выбрать на прямой $a$ две произвольные точки $E$ и $F$. В этих точках с помощью угольника или циркуля и линейки построить перпендикуляры к прямой $a$. На каждом перпендикуляре отложить отрезки длиной 3 см в обе стороны от прямой $a$. Через полученные точки провести две прямые $m_1$ и $m_2$, которые будут параллельны прямой $a$.
3. Найти искомые точки. Точки пересечения луча $l$ с прямыми $m_1$ и $m_2$ и будут являться решением задачи.

Ответ: Искомые точки являются точками пересечения биссектрисы угла $KPD$ и пары прямых, параллельных прямой $a$ и находящихся на расстоянии 3 см от нее.

Количество решений задачи — это число точек пересечения луча-биссектрисы $l$ с двумя параллельными прямыми $m_1$ и $m_2$. Это число зависит от взаимного расположения угла $KPD$ и прямой $a$. Пусть $P$ — вершина угла.

Рассмотрим все возможные случаи:

• Случай 1: Биссектриса $l$ параллельна прямой $a$.
  • Если расстояние от вершины $P$ до прямой $a$ составляет ровно 3 см, то весь луч $l$ лежит на одной из прямых ($m_1$ или $m_2$). Задача имеет бесконечно много решений.
  • Если расстояние от $P$ до $a$ не равно 3 см, то луч $l$ не пересечет ни $m_1$, ни $m_2$. Задача не имеет решений (0 решений).
• Случай 2: Биссектриса $l$ не параллельна прямой $a$.

  В этом случае прямая, содержащая луч $l$, пересекает $m_1$ и $m_2$ в двух точках. Количество решений зависит от положения вершины $P$ относительно полосы, ограниченной прямыми $m_1$ и $m_2$.

  • Если вершина $P$ находится между прямыми $m_1$ и $m_2$ (расстояние от $P$ до $a$ меньше 3 см), то луч $l$ пересечет только одну из этих прямых. Задача имеет 1 решение.
  • Если вершина $P$ лежит на одной из прямых $m_1$ или $m_2$ (расстояние от $P$ до $a$ равно 3 см), то сама точка $P$ является решением. Так как $l$ не параллельна $a$, луч $l$ пересечет и вторую прямую, давая второе решение. Задача имеет 2 решения.
  • Если вершина $P$ находится вне полосы между $m_1$ и $m_2$ (расстояние от $P$ до $a$ больше 3 см), то, поскольку по условию прямая $a$ пересекает стороны угла, биссектриса $l$ будет направлена в сторону прямой $a$. Следовательно, луч $l$ пересечет обе прямые $m_1$ и $m_2$. Задача имеет 2 решения.

Таким образом, задача может иметь 0, 1, 2 или бесконечно много решений в зависимости от взаимного расположения угла и прямой.

Ответ: Задача может иметь 0, 1, 2 или бесконечно много решений.