Номер 1, страница 105 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2

Контрольная работа № 1

Тема. Простейшие геометрические фигуры и их свойства

1. Точка $M$ принадлежит отрезку $AB$. Найдите длину отрезка $MB$, если $AB = 12,3$ см, $AM = 7,4$ см.

2. Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, равен $124^{\circ}$. Найдите градусные меры остальных углов.

3. Один из смежных углов на $28^{\circ}$ меньше другого. Найдите эти углы.

4. На рисунке 274 $\angle AOB = \angle COD$, $\angle AOC = \angle COE$. Докажите, что $\angle BOC = \angle DOE$. Рис. 274

5. Углы $DEF$ и $MEF$ — смежные, луч $EK$ — биссектриса угла $DEF$, угол $KEF$ в 4 раза меньше угла $MEF$. Найдите углы $DEF$ и $MEF$.

6. Точки $M, K$ и $P$ лежат на одной прямой, $MP = 24$ см, отрезок $KP$ в 5 раз меньше отрезка $MK$. Найдите отрезок $MK$.

Вариант 2

Контрольная работа № 1

Тема. Простейшие геометрические фигуры

и их свойства

1. Точка $M$ принадлежит отрезку $AB$. Найдите длину отрезка $MB$, если $AB = 12,3$ см, $AM = 7,4$ см.

2. Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, равен $124^\circ$. Найдите градусные меры остальных углов.

3. Один из смежных углов на $28^\circ$ меньше другого. Найдите эти углы.

4. На рисунке 274 $\angle AOB = \angle COD$, $\angle AOC = \angle COE$. Докажите, что $\angle BOC = \angle DOE$.

Рис. 274

5. Углы $DEF$ и $MEF$ — смежные, луч $EK$ — биссектриса угла $DEF$, угол $KEF$ в 4 раза меньше угла $MEF$. Найдите углы $DEF$ и $MEF$.

6. Точки $M$, $K$ и $P$ лежат на одной прямой, $MP = 24$ см, отрезок $KP$ в 5 раз меньше отрезка $MK$. Найдите отрезок $MK$.

1. Поскольку точка M принадлежит отрезку AB, то длина всего отрезка AB равна сумме длин его частей AM и MB. Таким образом, $AB = AM + MB$. Чтобы найти длину отрезка MB, нужно из длины всего отрезка AB вычесть длину известной части AM. $MB = AB - AM = 12,3 \text{ см} - 7,4 \text{ см} = 4,9 \text{ см}$.
Ответ: 4,9 см.

2. При пересечении двух прямых образуются две пары равных вертикальных углов и четыре пары смежных углов, сумма которых равна 180°. Пусть данный угол $∠1 = 124°$. Угол, вертикальный ему (назовем его $∠3$), также равен 124°, так как вертикальные углы равны: $∠3 = ∠1 = 124°$. Углы, смежные с углом $∠1$ (назовем их $∠2$ и $∠4$), в сумме с ним дают 180°. $∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 124° = 56°$. Угол $∠4$ является вертикальным углу $∠2$, поэтому $∠4 = ∠2 = 56°$. Таким образом, три остальных угла равны 56°, 124° и 56°.
Ответ: 56°, 124°, 56°.

3. Сумма смежных углов равна 180°. Пусть градусная мера большего угла равна $x$. Тогда градусная мера меньшего угла равна $x - 28°$. Составим уравнение, исходя из свойства смежных углов: $x + (x - 28) = 180$ $2x - 28 = 180$ $2x = 180 + 28$ $2x = 208$ $x = 208 / 2$ $x = 104°$ (больший угол). Найдем меньший угол: $104° - 28° = 76°$. Проверка: $104° + 76° = 180°$.
Ответ: 104°, 76°.

4. По свойству измерения углов, угол $∠AOC$ состоит из углов $∠AOB$ и $∠BOC$. Следовательно, $∠AOC = ∠AOB + ∠BOC$. Отсюда можно выразить $∠BOC$: $∠BOC = ∠AOC - ∠AOB$. Аналогично, угол $∠COE$ состоит из углов $∠COD$ и $∠DOE$. Следовательно, $∠COE = ∠COD + ∠DOE$. Отсюда выразим $∠DOE$: $∠DOE = ∠COE - ∠COD$. По условию задачи нам дано, что $∠AOB = ∠COD$ и $∠AOC = ∠COE$. Подставим в выражение для $∠DOE$ равные ему значения из условия: $∠DOE = ∠AOC - ∠AOB$. Теперь у нас есть два выражения: 1) $∠BOC = ∠AOC - ∠AOB$ 2) $∠DOE = ∠AOC - ∠AOB$ Правые части этих равенств одинаковы, следовательно, левые части также равны: $∠BOC = ∠DOE$.
Ответ: Равенство $∠BOC = ∠DOE$ доказано.

5. Пусть градусная мера угла $∠KEF$ равна $x$. По условию, угол $∠KEF$ в 4 раза меньше угла $∠MEF$, значит $∠MEF = 4 \cdot ∠KEF = 4x$. Так как луч EK — биссектриса угла $∠DEF$, он делит этот угол на два равных угла: $∠DEK = ∠KEF = x$. Таким образом, весь угол $∠DEF$ равен сумме его частей: $∠DEF = ∠DEK + ∠KEF = x + x = 2x$. Углы $∠DEF$ и $∠MEF$ являются смежными, поэтому их сумма равна 180°. Составим и решим уравнение: $∠DEF + ∠MEF = 180°$ $2x + 4x = 180$ $6x = 180$ $x = 180 / 6$ $x = 30°$. Теперь найдем искомые углы: $∠DEF = 2x = 2 \cdot 30° = 60°$. $∠MEF = 4x = 4 \cdot 30° = 120°$.
Ответ: ∠DEF = 60°, ∠MEF = 120°.

6. Поскольку в условии не указан порядок расположения точек на прямой, необходимо рассмотреть два возможных случая.
Случай 1: Точка K лежит между точками M и P. В этом случае длина отрезка MP равна сумме длин отрезков MK и KP: $MP = MK + KP$. Пусть длина отрезка KP равна $x$ см. По условию, отрезок KP в 5 раз меньше отрезка MK, значит $MK = 5x$ см. Составим уравнение: $5x + x = 24$ $6x = 24$ $x = 4$ см. Длина отрезка KP равна 4 см. Тогда длина отрезка MK равна $5 \cdot 4 = 20$ см.
Случай 2: Точка P лежит между точками M и K. В этом случае длина отрезка MK равна сумме длин отрезков MP и PK: $MK = MP + PK$. Пусть длина отрезка PK равна $x$ см. Тогда $MK = 5x$ см. Составим уравнение: $5x = 24 + x$ $5x - x = 24$ $4x = 24$ $x = 6$ см. Длина отрезка PK равна 6 см. Тогда длина отрезка MK равна $5 \cdot 6 = 30$ см. (Третий случай, когда M лежит между K и P, невозможен, так как он привел бы к отрицательной длине отрезка).
Ответ: 20 см или 30 см.