Номер 2, страница 101 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 2

Тема. Треугольники

1. Докажите равенство треугольников MBF и DBF (рис. 266), если $\angle MBF = \angle DBF, \angle MFB = \angle DFB$.

2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 84 см, а боковая сторона на 18 см больше основания.

3. На рисунке 267 $DP = PE, DK = KE$. Докажите равенство углов KDM и KEM.

4. На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC отметили соответственно точки E и F такие, что $AE = CF$. Докажите, что $\angle ACE = \angle CAF$.

5. Серединный перпендикуляр стороны AB треугольника ABC пересекает его сторону AC в точке D. Найдите периметр треугольника BDC, если $AC = 8$ см, $BC = 6$ см.

Контрольная работа № 2

Тема. Треугольники

1. Докажите равенство треугольников $MBF$ и $DBF$ (рис. 266), если $\angle MBF=\angle DBF, \angle MFB=\angle DFB$.

2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 84 см, а боковая сторона на 18 см больше основания.

3. На рисунке 267 $DP=PE, DK=KE$. Докажите равенство углов $KDM$ и $KEM$.

4. На боковых сторонах $AB$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $E$ и $F$ такие, что $AE=CF$. Докажите, что $\angle ACE=\angle CAF$.

5. Серединный перпендикуляр стороны $AB$ треугольника $ABC$ пересекает его сторону $AC$ в точке $D$. Найдите периметр треугольника $BDC$, если $AC=8$ см, $BC=6$ см.

1. Рассмотрим треугольники $MBF$ и $DBF$. По условию задачи нам дано, что $\angle MBF = \angle DBF$ и $\angle MFB = \angle DFB$. Сторона $BF$ является общей для обоих треугольников. Таким образом, треугольник $MBF$ равен треугольнику $DBF$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство треугольников $MBF$ и $DBF$ доказано.

2. Пусть основание равнобедренного треугольника равно $x$ см. Тогда, по условию, боковая сторона на 18 см больше, то есть равна $(x + 18)$ см. Так как в равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны, обе они имеют длину $(x + 18)$ см. Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Составим уравнение, зная, что периметр равен 84 см:
$x + (x + 18) + (x + 18) = 84$
$3x + 36 = 84$
$3x = 84 - 36$
$3x = 48$
$x = 16$
Таким образом, основание треугольника равно 16 см. Боковая сторона равна $16 + 18 = 34$ см. Стороны треугольника: 16 см, 34 см и 34 см.
Ответ: 16 см, 34 см, 34 см.

3. Рассмотрим треугольники $DPK$ и $EPK$. По условию $DP = PE$ и $DK = KE$. Сторона $PK$ является общей. Следовательно, $\triangle DPK = \triangle EPK$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих углов, в частности $\angle DKP = \angle EKP$.
Теперь рассмотрим треугольники $DKM$ и $EKM$. У них сторона $KM$ — общая, $DK = KE$ по условию, а углы $\angle DKM$ и $\angle EKM$ равны, так как они совпадают с ранее доказанными равными углами $\angle DKP$ и $\angle EKP$. Следовательно, $\triangle DKM = \triangle EKM$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников $DKM$ и $EKM$ следует равенство их соответствующих углов, а именно $\angle KDM = \angle KEM$. Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство углов $KDM$ и $KEM$ доказано.

4. Рассмотрим треугольники $AEC$ и $CFA$. По условию, $\triangle ABC$ — равнобедренный с боковыми сторонами $AB$ и $BC$, значит, углы при основании $AC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA$. Угол $\angle EAC$ совпадает с углом $\angle BAC$, а угол $\angle FCA$ совпадает с углом $\angle BCA$, следовательно, $\angle EAC = \angle FCA$. Сторона $AC$ является общей для треугольников $AEC$ и $CFA$. Также по условию дано, что $AE = CF$.
Таким образом, в треугольниках $AEC$ и $CFA$:
1. $AE = CF$ (по условию)
2. $AC$ — общая сторона
3. $\angle EAC = \angle FCA$ (как углы при основании равнобедренного треугольника)
Следовательно, $\triangle AEC = \triangle CFA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов: $\angle ACE = \angle CAF$. Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство углов $\angle ACE$ и $\angle CAF$ доказано.

5. Периметр треугольника $BDC$ равен сумме длин его сторон: $P_{BDC} = BD + DC + BC$.
По условию, точка $D$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AB$. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Следовательно, $AD = BD$.
Заменим в формуле периметра $BD$ на $AD$: $P_{BDC} = AD + DC + BC$.
Так как точка $D$ лежит на стороне $AC$, то сумма длин отрезков $AD$ и $DC$ равна длине стороны $AC$, то есть $AD + DC = AC$.
Таким образом, периметр треугольника $BDC$ равен $P_{BDC} = (AD + DC) + BC = AC + BC$.
Подставим известные значения: $AC = 8$ см и $BC = 6$ см.
$P_{BDC} = 8 + 6 = 14$ см.
Ответ: 14 см.