Номер 3, страница 107 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 3

Тема. Параллельные прямые.

Сумма углов треугольника

1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен $57^{\circ}$. Найдите угол при вершине этого треугольника.

2. Найдите градусную меру угла $\angle DCE$ (рис. 277).

3. Какова градусная мера угла $\angle F$, изображённого на рисунке 278?

Рис. 277

Рис. 278

4. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle A = 30^{\circ}$, отрезок $BM$ — биссектриса треугольника. Найдите катет $AC$, если $BM = 6$ см.

5. Известно, что $BC \parallel AD$, $BF = DE$, $\angle AED = \angle CFB$ (рис. 279). Докажите, что $AB \parallel CD$.

Рис. 279

Контрольная работа № 3

Тема. Параллельные прямые.

Сумма углов треугольника

1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен $57^\circ$. Найдите угол при вершине этого треугольника.

2. Найдите градусную меру угла $DCE$ (рис. 277).

3. Какова градусная мера угла $F$, изображённого на рисунке 278?

Рис. 277

Рис. 278

4. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$, отрезок $BM$ — биссектриса треугольника. Найдите катет $AC$, если $BM = 6$ см.

5. Известно, что $BC \parallel AD$, $BF = DE$, $\angle AED = \angle CFB$ (рис. 279). Докажите, что $AB \parallel CD$.

Рис. 279

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть $\alpha$ — угол при основании, а $\beta$ — угол при вершине. По условию, $\alpha = 57^\circ$. Так как углов при основании два, то их сумма равна $57^\circ + 57^\circ = 114^\circ$. Сумма всех углов в треугольнике составляет $180^\circ$. Чтобы найти угол при вершине, нужно из общей суммы углов вычесть сумму углов при основании:
$\beta = 180^\circ - (\alpha + \alpha) = 180^\circ - (57^\circ + 57^\circ) = 180^\circ - 114^\circ = 66^\circ$.
Ответ: $66^\circ$.

2. На рисунке 277 изображены две прямые $FE$ и $MK$, пересеченные секущей $AB$. Углы $\angle FAC$ и $\angle ABM$ являются внутренними односторонними углами. Найдем их сумму:
$104^\circ + 76^\circ = 180^\circ$.
Поскольку сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, прямые $FE$ и $MK$ параллельны ($FE \parallel MK$).
Теперь рассмотрим те же параллельные прямые $FE$ и $MK$ и секущую $CD$. Углы $\angle DCE$ и $\angle KDC$ являются внутренними накрест лежащими углами. При параллельных прямых внутренние накрест лежащие углы равны.
Следовательно, $\angle DCE = \angle KDC = 40^\circ$.
Ответ: $40^\circ$.

3. Для решения задачи будем последовательно находить углы в треугольниках, используя теорему о сумме углов треугольника.
1. Рассмотрим $\triangle KNF$. По рисунку, $\angle K = 72^\circ$ и $\angle KFN = 38^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому можем найти $\angle KNF$:
$\angle KNF = 180^\circ - (\angle NKF + \angle KFN) = 180^\circ - (72^\circ + 38^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.
2. Точки $M, N, K$ лежат на одной прямой, значит, углы $\angle KNF$ и $\angle MNF$ — смежные, и их сумма равна $180^\circ$. Найдем $\angle MNF$:
$\angle MNF = 180^\circ - \angle KNF = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.
3. Теперь рассмотрим $\triangle MNF$. Нам известны углы $\angle FMN = 24^\circ$ и $\angle MNF = 110^\circ$. Найдем третий угол, $\angle MFN$:
$\angle MFN = 180^\circ - (\angle FMN + \angle MNF) = 180^\circ - (24^\circ + 110^\circ) = 180^\circ - 134^\circ = 46^\circ$.
4. Искомый угол $F$ треугольника $MKF$ (то есть $\angle MFK$) состоит из двух углов: $\angle MFN$ и $\angle NFK$. Мы нашли $\angle MFN = 46^\circ$, а $\angle NFK$ (он же $\angle KFN$) дан по условию и равен $38^\circ$.
$\angle F = \angle MFK = \angle MFN + \angle NFK = 46^\circ + 38^\circ = 84^\circ$.
Ответ: $84^\circ$.

4. Дано: $\triangle ABC$, $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$, $BM$ — биссектриса, $BM = 6$ см.
1. Найдем угол $B$ в треугольнике $ABC$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$:
$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ$.
2. $BM$ — биссектриса угла $B$, значит, она делит его пополам:
$\angle ABM = \angle CBM = \frac{\angle B}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.
3. Рассмотрим треугольник $ABM$. В нем $\angle BAM = \angle A = 30^\circ$ и $\angle ABM = 30^\circ$. Так как два угла в треугольнике равны, то он является равнобедренным. Стороны, лежащие против равных углов, равны: $AM = BM$.
Поскольку $BM = 6$ см, то $AM = 6$ см.
4. Рассмотрим треугольник $CBM$. Он прямоугольный, так как $\angle C = 90^\circ$. В нем $\angle CBM = 30^\circ$. Катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В $\triangle CBM$ гипотенузой является $BM$, а катетом, лежащим против угла $30^\circ$, — $CM$.
$CM = \frac{1}{2} BM = \frac{1}{2} \times 6 = 3$ см.
5. Катет $AC$ состоит из отрезков $AM$ и $MC$.
$AC = AM + MC = 6 \text{ см} + 3 \text{ см} = 9$ см.
Ответ: $9$ см.

5.
Дано: $BC \parallel AD$, $BF = DE$, $\angle AED = \angle CFB$.
Доказать: $AB \parallel CD$.
Доказательство:
1. Рассмотрим $\triangle AED$ и $\triangle CFB$.
2. Так как $BC \parallel AD$ (по условию), а $AC$ является секущей, то накрест лежащие углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ равны. Из рисунка видно, что $\angle BCF$ это $\angle BCA$, а $\angle DAE$ это $\angle CAD$. Следовательно, $\angle BCF = \angle DAE$.
3. Сравним $\triangle AED$ и $\triangle CFB$. У них:

• $DE = BF$ (по условию).
• $\angle DAE = \angle BCF$ (как накрест лежащие углы при $BC \parallel AD$ и секущей AC).
• $\angle AED = \angle CFB$ (по условию).

4. Если сторона и два угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны (по стороне и двум углам, AAS). Следовательно, $\triangle AED \cong \triangle CFB$.
5. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, а именно $AD = CB$.
6. Теперь рассмотрим четырехугольник $ABCD$. У него две противоположные стороны $AD$ и $BC$ параллельны ($BC \parallel AD$ по условию) и равны ($AD = CB$ по доказанному).
7. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.
8. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то его другие противоположные стороны $AB$ и $CD$ также параллельны.
Таким образом, доказано, что $AB \parallel CD$.