Номер 180, страница 99 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

180. Постройте равносторонний треугольник по перпендикуляру, проведённому из середины одной из сторон к его высоте.

180. Постройте равносторонний треугольник по перпенди-куляру, проведённому из середины одной из сторонк его высоте.

Анализ

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Пусть $BH$ — его высота, проведенная к стороне $AC$. В равностороннем треугольнике высота является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $H$ — середина $AC$, и $\angle HBC = 30^\circ$.

Пусть $M$ — середина стороны $BC$. Тогда $BM = \frac{a}{2}$.

Проведем из точки $M$ перпендикуляр $MN$ к высоте $BH$. Треугольник $BMN$ — прямоугольный ($\angle BNM = 90^\circ$).

В этом треугольнике нам известен угол $\angle MBN = \angle HBC = 30^\circ$ и гипотенуза $BM = \frac{a}{2}$. Катет $MN$, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы:

$MN = BM \cdot \sin(30^\circ) = \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{4}$.

Таким образом, длина данного перпендикуляра в 4 раза меньше стороны искомого равностороннего треугольника. Отсюда следует, что для построения треугольника нам нужно сначала построить отрезок, равный его стороне, длина которого будет в 4 раза больше длины данного отрезка $MN$.

Ответ: Длина стороны искомого треугольника в четыре раза больше длины заданного перпендикуляра.

Построение

Пусть дан отрезок $d$, равный перпендикуляру, проведенному из середины стороны к высоте.

1. На произвольной прямой откладываем от точки $P$ последовательно четыре раза отрезок $d$. Получаем отрезок $PQ$, длина которого равна $4d$. Этот отрезок будет стороной искомого треугольника.
2. Строим на отрезке $PQ$ как на основании равносторонний треугольник. Для этого:
3. Проводим окружность с центром в точке $P$ и радиусом $PQ$.
4. Проводим окружность с центром в точке $Q$ и радиусом $PQ$.
5. Точку пересечения этих окружностей обозначим $R$.
6. Соединяем точки $P$, $Q$ и $R$. Треугольник $PQR$ — искомый.

Ответ: Искомый равносторонний треугольник $PQR$ построен.

Доказательство

По построению, $PQ = PR = QR$, так как $PR$ и $QR$ являются радиусами равных окружностей, равными отрезку $PQ$. Следовательно, треугольник $PQR$ является равносторонним.

Пусть сторона этого треугольника равна $a$. По построению $a = |PQ| = 4d$.

Проведем в $\triangle PQR$ высоту $QH_1$ к стороне $PR$. Пусть $M_1$ — середина стороны $QR$. Проведем из $M_1$ перпендикуляр $M_1N_1$ к высоте $QH_1$.

Как было показано в анализе, для равностороннего треугольника со стороной $a$ длина такого перпендикуляра равна $\frac{a}{4}$.

В нашем случае $|M_1N_1| = \frac{a}{4} = \frac{4d}{4} = d$.

Таким образом, построенный треугольник $PQR$ является равносторонним, и перпендикуляр, проведенный из середины его стороны к высоте, равен данному отрезку $d$.

Ответ: Построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение, если дан отрезок ненулевой длины. Построение, описанное выше, однозначно определяет длину стороны искомого треугольника. Все равносторонние треугольники с заданной стороной равны. Следовательно, задача всегда имеет единственное решение с точностью до расположения на плоскости.

Ответ: Задача имеет единственное решение для любого отрезка $d > 0$.