Номер 174, страница 98 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

174. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке M. Найдите сторону AC, если $BM = 5$ см, а периметр треугольника ABC равен 24 см.

174. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке M. Найдите сторону AC, если $BM = 5 \text{ см}$, а периметр треугольника ABC равен 24 см.

Пусть вписанная в треугольник $ABC$ окружность касается его сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $K$, $M$ и $N$ соответственно.

По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезки касательных от вершины треугольника до точек касания равны:

• $AK = AN$
• $BK = BM$
• $CM = CN$

По условию задачи, $BM = 5$ см. Следовательно, $BK$ также равен 5 см.

Периметр треугольника $ABC$ — это сумма длин всех его сторон:

$P_{ABC} = AB + BC + AC = 24$ см.

Выразим стороны треугольника через длины отрезков, на которые их делят точки касания:

$AB = AK + KB$

$BC = BM + MC$

$AC = AN + NC$

Подставим эти выражения в формулу периметра:

$P_{ABC} = (AK + KB) + (BM + MC) + (AN + NC) = 24$

Теперь сгруппируем равные отрезки, используя свойство касательных:

$P_{ABC} = (AK + AN) + (BK + BM) + (CM + CN) = 2 \cdot AN + 2 \cdot BM + 2 \cdot CM = 24$

Разделив обе части уравнения на 2, получим полупериметр $p$:

$p = AN + BM + CM = \frac{24}{2} = 12$ см.

Мы ищем длину стороны $AC$, которая равна $AC = AN + NC$. Так как $NC = CM$, то $AC = AN + CM$.

В выражении для полупериметра $p = AN + BM + CM$ мы можем сгруппировать слагаемые $(AN + CM)$, которые в сумме дают сторону $AC$:

$p = (AN + CM) + BM$

$p = AC + BM$

Подставим известные значения полупериметра $p=12$ см и длины отрезка $BM=5$ см:

$12 = AC + 5$

Отсюда находим сторону $AC$:

$AC = 12 - 5 = 7$ см.

Ответ: 7 см.