Номер 172, страница 98 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

172. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 4 см и 21 см. Найдите радиус окружности, если периметр треугольника равен 56 см.

172. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 4 см и 21 см. Найдите радиус окружности, если периметр треугольника равен 56 см.

Пусть дан прямоугольный треугольник, $a$ и $b$ — его катеты, $c$ — гипотенуза, а $r$ — радиус вписанной окружности.

По условию, точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 4 см и 21 см. Длина гипотенузы $c$ равна сумме длин этих отрезков:

$c = 4 + 21 = 25$ см.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: отрезки касательных от вершины до точек касания равны. Пусть вписанная окружность касается катетов в точках M и L, а гипотенузы — в точке K. Тогда отрезки, на которые вершины треугольника делят стороны, равны:

• отрезки от одной вершины острого угла до точек касания равны 4 см;
• отрезки от другой вершины острого угла до точек касания равны 21 см;
• отрезки от вершины прямого угла до точек касания равны радиусу вписанной окружности $r$.

Таким образом, мы можем выразить длины катетов через радиус $r$:

$a = 21 + r$

$b = 4 + r$

Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон:

$P = a + b + c$

Подставим известные значения и выражения в формулу периметра. По условию $P = 56$ см.

$56 = (21 + r) + (4 + r) + 25$

Теперь решим это уравнение относительно $r$:

$56 = 50 + 2r$

$2r = 56 - 50$

$2r = 6$

$r = 3$ см.

Проверка:

Найдем длины катетов: $a = 21 + 3 = 24$ см, $b = 4 + 3 = 7$ см.

Проверим, выполняется ли теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

$24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625$.

$25^2 = 625$.

Равенство $625 = 625$ выполняется, значит, треугольник действительно прямоугольный.

Проверим периметр: $P = 24 + 7 + 25 = 56$ см. Это соответствует условию задачи.

Ответ: 3 см.