Номер 164, страница 97 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности. Вариант 4. Упражнения - номер 164, страница 97.

Учебник 2017.

164. На рисунке 260 прямая BE касается окружности с центром O в точке B. Найдите $\angle PBE$, если $\angle AOB = 142^\circ$.

Рис. 260

Учебник 2021.

164. На рисунке 260 прямая $BE$ касается окружности с центром $O$ в точке $B$. Найдите $\angle PBE$, если $\angle AOB = 142^{\circ}$.

Рис. 260

Решение.

Решение 2 (2021).

Рассмотрим треугольник $AOB$. Так как $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, то треугольник $AOB$ является равнобедренным ($OA = OB$). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Найдем величину этих углов, зная, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$\angle OBA = \angle OAB = \frac{180^\circ - \angle AOB}{2}$

Подставим известное значение $\angle AOB = 142^\circ$:

$\angle OBA = \frac{180^\circ - 142^\circ}{2} = \frac{38^\circ}{2} = 19^\circ$.

Прямая $BE$ касается окружности в точке $B$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания ($OB$), перпендикулярен касательной. Это означает, что $\angle OBE = 90^\circ$.

Теперь мы можем найти угол между касательной $BE$ и хордой $AB$. Этот угол, $\angle ABE$, можно вычислить как разность углов $\angle OBE$ и $\angle OBA$:

$\angle ABE = \angle OBE - \angle OBA = 90^\circ - 19^\circ = 71^\circ$.

В условии задачи требуется найти $\angle PBE$. На рисунке точки P, B и E лежат на одной прямой, образуя касательную. В таком случае $\angle PBE$ является развернутым углом и равен $180^\circ$. Однако наличие в условии величины угла $\angle AOB$ указывает на то, что, вероятнее всего, в названии искомого угла допущена опечатка и имелся в виду угол $\angle ABE$.

Ответ: 71°