Номер 160, страница 96 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

160. Даны точки $P$ и $D$. Найдите ГМТ вершин $F$ треугольников $PDF$ таких, что медиана $FB$ равна 3,5 см.

160. Даны точки $P$ и $D$. Найдите ГМТ вершин $F$ треугольников $PDF$ таких, что медиана $FB$ равна 3,5 см.

Пусть $P$ и $D$ — две данные фиксированные точки. В треугольнике $PDF$ отрезок $FB$ является медианой, проведенной из вершины $F$ к стороне $PD$.

По определению медианы, точка $B$ является серединой стороны $PD$. Так как точки $P$ и $D$ зафиксированы, их середина, точка $B$, также является фиксированной точкой на плоскости.

По условию задачи, длина медианы $FB$ постоянна и равна 3,5 см. Это означает, что расстояние от искомой вершины $F$ до фиксированной точки $B$ всегда составляет 3,5 см, то есть $|FB| = 3,5$ см.

Геометрическое место точек (ГМТ), находящихся на постоянном расстоянии от некоторой фиксированной точки, является окружностью. Центром этой окружности является фиксированная точка, а радиусом — заданное расстояние.

Таким образом, искомое ГМТ для вершины $F$ — это окружность с центром в точке $B$ (середине отрезка $PD$) и радиусом $R = 3,5$ см.

Важно учесть, что для существования треугольника $PDF$ его вершины $P$, $D$ и $F$ не должны лежать на одной прямой. Если точка $F$ будет лежать на прямой, проходящей через точки $P$ и $D$, то треугольник вырождается в отрезок. Точки пересечения найденной окружности с прямой $PD$ как раз и являются теми положениями вершины $F$, при которых три точки оказываются коллинеарными.

Следовательно, эти две точки необходимо исключить из искомого ГМТ.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это окружность с центром в середине отрезка $PD$ и радиусом 3,5 см, за исключением двух точек пересечения этой окружности с прямой $PD$.