Номер 154, страница 96 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

154. В окружности с центром $O$ проведены диаметр $DF$ и хорда $FE$. Найдите $\angle FDE$, если $\angle FEO = 23^{\circ}$.

154. В окружности с центром $O$ проведены диаметр $DF$ и хорда $FE$. Найдите $\angle FDE$, если $\angle FEO = 23^{\circ}$.

Рассмотрим треугольник $FEO$. Поскольку $O$ — центр окружности, отрезки $OF$ и $OE$ являются радиусами этой окружности, следовательно, они равны: $OF = OE$. Это означает, что треугольник $FEO$ является равнобедренным с основанием $FE$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Таким образом, $\angle OFE = \angle FEO$. По условию задачи дано, что $\angle FEO = 23^\circ$, значит, и $\angle OFE = 23^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $FDE$. Угол $\angle FED$ является вписанным углом, который опирается на диаметр $DF$. Согласно свойству, вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым, то есть $\angle FED = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $FDE$ — прямоугольный.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Для треугольника $FDE$ это означает, что $\angle FDE + \angle DFE = 90^\circ$.

Угол $\angle DFE$ — это тот же самый угол, что и $\angle OFE$, так как точки $D$, $O$ и $F$ лежат на одной прямой (диаметре). Мы уже установили, что $\angle OFE = 23^\circ$, поэтому $\angle DFE = 23^\circ$.

Теперь мы можем найти искомый угол $\angle FDE$:

$\angle FDE = 90^\circ - \angle DFE = 90^\circ - 23^\circ = 67^\circ$.

Ответ: $67^\circ$.