Номер 148, страница 95 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

148. В треугольнике DEF известно, что $\angle D = 90^\circ$, $\angle F = 30^\circ$. Биссектриса угла E пересекает катет DF в точке P. Найдите FP, если $EP + PD = 12$ см.

148. В треугольнике $DEF$ известно, что $\angle D = 90^\circ$, $\angle F = 30^\circ$. Биссектриса угла $E$ пересекает катет $DF$ в точке $P$. Найдите $FP$, если $EP + PD = 12$ см.

1. Найдем угол E треугольника DEF.
По условию, треугольник $DEF$ — прямоугольный с $\angle D = 90^\circ$ и $\angle F = 30^\circ$.
Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Следовательно, угол $E$ равен:
$\angle E = 180^\circ - \angle D - \angle F = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

2. Рассмотрим свойства биссектрисы EP.
$EP$ — биссектриса угла $E$, поэтому она делит его на два равных угла:
$\angle DEP = \angle FEP = \frac{\angle E}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

3. Рассмотрим треугольник FEP.
В этом треугольнике мы знаем два угла: $\angle F = 30^\circ$ (по условию) и $\angle FEP = 30^\circ$ (из предыдущего шага).
Поскольку два угла в треугольнике $FEP$ равны ($\angle F = \angle FEP$), этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Следовательно:
$FP = EP$.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник DEP.
В этом треугольнике $\angle D = 90^\circ$ и $\angle DEP = 30^\circ$.
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Катет $PD$ лежит напротив угла $\angle DEP = 30^\circ$, а гипотенузой является сторона $EP$. Таким образом, мы получаем соотношение:
$PD = \frac{1}{2} EP$, что эквивалентно $EP = 2 \cdot PD$.

5. Найдем длину FP.
По условию задачи нам дано равенство: $EP + PD = 12$ см.
Мы можем подставить выражение $EP = 2 \cdot PD$ в это уравнение:
$(2 \cdot PD) + PD = 12$
$3 \cdot PD = 12$
$PD = \frac{12}{3} = 4$ см.
Теперь, зная $PD$, найдем $EP$:
$EP = 2 \cdot PD = 2 \cdot 4 = 8$ см.
Из шага 3 мы знаем, что $FP = EP$. Следовательно:
$FP = 8$ см.

Ответ: 8 см.