Номер 144, страница 94 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

144. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 60^\circ$. На катете $BC$ отметили такую точку $D$, что $\angle BDA = 120^\circ$. Найдите $BC$, если $AD = 12$ см.

144. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 60^\circ$. На катете $BC$ отметили такую точку $D$, что $\angle BDA = 120^\circ$. Найдите $BC$, если $AD = 12$ см.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, это прямоугольный треугольник с $\angle C = 90^\circ$ и $\angle A = 60^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти угол $B$:

$\angle B = 180^\circ - \angle C - \angle A = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Нам известны два его угла: $\angle B = 30^\circ$ (как мы нашли выше) и $\angle BDA = 120^\circ$ (по условию). Найдем третий угол, $\angle BAD$:

$\angle BAD = 180^\circ - \angle B - \angle BDA = 180^\circ - 30^\circ - 120^\circ = 30^\circ$.

Поскольку в треугольнике $ABD$ два угла равны ($\angle B = \angle BAD = 30^\circ$), он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $DB = AD$. Так как по условию $AD = 12$ см, то и $DB = 12$ см.

Угол $\angle A$ (или $\angle BAC$) равен $60^\circ$. Мы нашли, что его часть, угол $\angle BAD$, равна $30^\circ$. Тогда другая его часть, угол $\angle CAD$, будет равна:

$\angle CAD = \angle BAC - \angle BAD = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$ (так как $\angle C = 90^\circ$). В нем гипотенуза $AD = 12$ см, а катет $CD$ лежит напротив угла $\angle CAD = 30^\circ$. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы:

$CD = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

Искомая длина катета $BC$ складывается из длин отрезков $CD$ и $DB$:

$BC = CD + DB = 6 \text{ см} + 12 \text{ см} = 18$ см.

Ответ: 18 см.