Номер 138, страница 94 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

138. В остроугольных треугольниках $DEF$ и $D_1E_1F_1$ провели высоты $DK$ и $D_1K_1$. Докажите, что если $DF = D_1F_1$, $DK = D_1K_1$, $EK = E_1K_1$, то $\triangle DEF = \triangle D_1E_1F_1$.

138. В остроугольных треугольниках $DEF$ и $D_1E_1F_1$ провели высоты $DK$ и $D_1K_1$. Докажите, что если $DF = D_1F_1$, $DK = D_1K_1$, $EK = E_1K_1$, то $\Delta DEF = \Delta D_1E_1F_1$.

Дано:
$ \triangle DEF $ и $ \triangle D_1E_1F_1 $ — остроугольные треугольники.
$ DK \perp EF $ и $ D_1K_1 \perp E_1F_1 $ — высоты.
$ DF = D_1F_1 $
$ DK = D_1K_1 $
$ EK = E_1K_1 $

Доказать:
$ \triangle DEF = \triangle D_1E_1F_1 $

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники $ \triangle DKF $ и $ \triangle D_1K_1F_1 $. Углы $ \angle DKF $ и $ \angle D_1K_1F_1 $ равны $90^\circ$, так как $DK$ и $D_1K_1$ — высоты. В этих треугольниках:

• гипотенуза $ DF $ равна гипотенузе $ D_1F_1 $ (по условию);
• катет $ DK $ равен катету $ D_1K_1 $ (по условию).

Следовательно, $ \triangle DKF = \triangle D_1K_1F_1 $ по гипотенузе и катету. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих элементов: $ KF = K_1F_1 $ и $ \angle F = \angle F_1 $.

2. Рассмотрим прямоугольные треугольники $ \triangle DKE $ и $ \triangle D_1K_1E_1 $. В них:

• катет $ DK $ равен катету $ D_1K_1 $ (по условию);
• катет $ EK $ равен катету $ E_1K_1 $ (по условию).

Следовательно, $ \triangle DKE = \triangle D_1K_1E_1 $ по двум катетам. Из этого равенства следует, что гипотенуза $ DE $ равна гипотенузе $ D_1E_1 $.

3. Теперь сравним стороны треугольников $ \triangle DEF $ и $ \triangle D_1E_1F_1 $. Так как треугольники остроугольные, основания высот $K$ и $K_1$ лежат на сторонах $EF$ и $E_1F_1$ соответственно. Тогда $ EF = EK + KF $ и $ E_1F_1 = E_1K_1 + K_1F_1 $. Поскольку $ EK = E_1K_1 $ (по условию) и $ KF = K_1F_1 $ (из п. 1), то $ EF = E_1F_1 $.

4. Таким образом, в треугольниках $ \triangle DEF $ и $ \triangle D_1E_1F_1 $ соответствующие стороны равны:

• $ DE = D_1E_1 $ (из п. 2)
• $ DF = D_1F_1 $ (по условию)
• $ EF = E_1F_1 $ (из п. 3)

Следовательно, $ \triangle DEF = \triangle D_1E_1F_1 $ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ \triangle DEF $ и $ \triangle D_1E_1F_1 $ доказано.