Номер 134, страница 93 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

134. На рисунке 253 $DA \perp EK$, $FB \perp EK$, $DA = FB$, $\angle FEK = \angle DKE$. Докажите, что $DE = FK$.

Рис. 253

134. На рисунке 253 $DA \perp EK$, $FB \perp EK$, $DA = FB$, $\angle FEK = \angle DKE$. Докажите, что $DE = FK$.

Рис. 253

Для доказательства равенства отрезков $DE$ и $FK$ мы докажем равенство треугольников $\triangle DKE$ и $\triangle FEK$.

Из условия задачи известно, что $DA \perp EK$ и $FB \perp EK$. Это означает, что $DA$ и $FB$ являются перпендикулярами, опущенными из точек $D$ и $F$ на прямую, содержащую отрезок $EK$. Точки $A$ и $B$ являются основаниями этих перпендикуляров и, следовательно, лежат на прямой $EK$. Это значит, что треугольники $\triangle DAK$ и $\triangle FBE$ являются прямоугольными с прямыми углами $\angle DAK = 90^\circ$ и $\angle FBE = 90^\circ$ соответственно. (Следует отметить, что расположение точек A и B на рисунке не соответствует текстовому условию задачи, и в решении мы опираемся на текст).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DAK$. Катет $DA$ противолежит углу $\angle DKA$. По определению синуса в прямоугольном треугольнике: $ \sin(\angle DKA) = \frac{DA}{DK} $ Отсюда получаем: $ DA = DK \cdot \sin(\angle DKA) $

Аналогично, рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle FBE$. Катет $FB$ противолежит углу $\angle FEB$. По определению синуса: $ \sin(\angle FEB) = \frac{FB}{FE} $ Отсюда получаем: $ FB = FE \cdot \sin(\angle FEB) $

По условию задачи $DA = FB$ и $\angle DKE = \angle FEK$. Так как точки $A$ и $B$ лежат на одной прямой с $E$ и $K$, то $\angle DKA = \angle DKE$ и $\angle FEB = \angle FEK$. Приравняем полученные выражения для $DA$ и $FB$: $ DK \cdot \sin(\angle DKE) = FE \cdot \sin(\angle FEK) $

Поскольку по условию $\angle DKE = \angle FEK$, и в невырожденной фигуре эти углы не равны $0^\circ$ или $180^\circ$, то их синусы равны и отличны от нуля. Следовательно, мы можем сократить обе части равенства на $\sin(\angle DKE)$: $ DK = FE $

Теперь мы можем доказать равенство треугольников $\triangle DKE$ и $\triangle FEK$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

• $DK = FE$ (как доказано выше).
• $\angle DKE = \angle FEK$ (по условию).
• $EK$ — общая сторона.

Таким образом, $\triangle DKE \cong \triangle FEK$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В треугольнике $\triangle DKE$ сторона $DE$ лежит напротив угла $\angle DKE$. В треугольнике $\triangle FEK$ сторона $FK$ лежит напротив угла $\angle FEK$. Так как $\angle DKE = \angle FEK$, то и противолежащие им стороны равны: $ DE = FK $

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $DE = FK$ доказано.