Номер 135, страница 93 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

135. В треугольнике $ABC$ провели медиану $AM$. Из точек $B$ и $C$ на прямую $AM$ опустили перпендикуляры $BK$ и $CN$. Докажите, что $KM = NM$.

135. В треугольнике $ABC$ провели медиану $AM$. Из точек $B$ и $C$ на прямую $AM$ опустили перпендикуляры $BK$ и $CN$. Докажите, что $KM = NM$.

Рассмотрим треугольники $ΔBMK$ и $ΔCMN$.

1. По условию, $AM$ — медиана треугольника $ABC$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $BC$. Следовательно, отрезки $BM$ и $CM$ равны: $BM = CM$.

2. По условию, из точек $B$ и $C$ на прямую $AM$ опущены перпендикуляры $BK$ и $CN$. Это означает, что $∠BKM = 90°$ и $∠CNM = 90°$. Таким образом, треугольники $ΔBMK$ и $ΔCMN$ являются прямоугольными.

3. Углы $∠BMK$ и $∠CMN$ являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $BC$ и $AM$. По свойству вертикальных углов, они равны: $∠BMK = ∠CMN$.

Таким образом, прямоугольные треугольники $ΔBMK$ и $ΔCMN$ равны по гипотенузе ($BM = CM$) и острому углу ($∠BMK = ∠CMN$).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В данных треугольниках сторона $KM$ лежит против угла $∠KBM$, а сторона $NM$ лежит против угла $∠NCM$. Поскольку треугольники равны, то и эти углы равны ($∠KBM = ∠NCM$), а значит и противолежащие им стороны $KM$ и $NM$ также равны.

Следовательно, $KM = NM$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $KM = NM$ доказано на основе равенства прямоугольных треугольников $ΔBMK$ и $ΔCMN$ по гипотенузе и острому углу.