Номер 137, страница 94 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

137. Докажите равенство прямоугольных треугольников по высоте, проведённой из вершины прямого угла, и одному из отрезков, на которые эта высота делит гипотенузу.

137. Докажите равенство прямоугольных треугольников по высоте, проведённой из вершины прямого угла, и одному из отрезков, на которые эта высота делит гипотенузу.

Для доказательства утверждения рассмотрим два прямоугольных треугольника, удовлетворяющих условию задачи.

Дано:

Пусть даны два прямоугольных треугольника: $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $, в которых $ \angle C = \angle C_1 = 90^\circ $.
Пусть $CD$ — высота, проведенная из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$, а $C_1D_1$ — высота, проведенная из вершины прямого угла $C_1$ к гипотенузе $A_1B_1$. Точка $D$ лежит на $AB$, а точка $D_1$ — на $A_1B_1$.
Согласно условию, высота одного треугольника равна высоте другого, и один из отрезков, на которые высота делит гипотенузу, равен соответствующему отрезку другого треугольника.
Пусть $CD = C_1D_1$ и $AD = A_1D_1$.

Доказать:

$ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники $ \triangle ADC $ и $ \triangle A_1D_1C_1 $. Так как $CD$ и $C_1D_1$ являются высотами к гипотенузам, то $ \angle ADC = 90^\circ $ и $ \angle A_1D_1C_1 = 90^\circ $. Следовательно, эти треугольники — прямоугольные.

2. В прямоугольных треугольниках $ \triangle ADC $ и $ \triangle A_1D_1C_1 $ катет $AD$ равен катету $A_1D_1$ и катет $CD$ равен катету $C_1D_1$ по условию.

3. Таким образом, $ \triangle ADC \cong \triangle A_1D_1C_1 $ по двум катетам.

4. Из равенства треугольников $ \triangle ADC \cong \triangle A_1D_1C_1 $ следует равенство их соответствующих элементов: гипотенузы $AC = A_1C_1$ и острого угла $ \angle A = \angle A_1 $.

5. Теперь рассмотрим исходные треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Они оба прямоугольные с прямыми углами $C$ и $C_1$.

6. Мы установили, что катет $AC$ треугольника $ \triangle ABC $ равен катету $A_1C_1$ треугольника $ \triangle A_1B_1C_1 $, и прилежащий к этому катету острый угол $ \angle A $ равен углу $ \angle A_1 $.

7. Следовательно, $ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $ по катету и прилежащему острому углу.

Что и требовалось доказать.

Случай, когда по условию даны $CD = C_1D_1$ и $DB = D_1B_1$, доказывается аналогично. В этом случае сначала доказывается равенство $ \triangle CDB \cong \triangle C_1D_1B_1 $ по двум катетам, из чего следует, что $BC = B_1C_1$ и $ \angle B = \angle B_1 $. Затем доказывается равенство $ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $ по катету $BC$ и прилежащему острому углу $ \angle B $.

Ответ: Равенство прямоугольных треугольников по высоте, проведённой из вершины прямого угла, и одному из отрезков, на которые эта высота делит гипотенузу, доказано.