Номер 131, страница 93 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

131. На рисунке 251 $\angle ABC = \angle DCB = 90^\circ$, $\angle BAC = \angle CDB$. Докажите, что $AC = BD$.

Рис. 251

131. На рисунке 251 $\angle ABC = \angle DCB = 90^\circ$, $\angle BAC = \angle CDB$. Докажите, что $AC = BD$.

Рис. 251

Для доказательства равенства отрезков $ AC $ и $ BD $ рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle DCB $, в которые эти отрезки входят в качестве сторон.

По условию задачи нам дано:
1) $ \angle ABC = \angle DCB = 90^{\circ} $, следовательно, треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle DCB $ являются прямоугольными.
2) $ \angle BAC = \angle CDB $.
3) Сторона $ BC $ является общей для обоих треугольников.

Чтобы доказать равенство треугольников, найдем их третьи углы. Сумма углов в любом треугольнике равна $ 180^{\circ} $.
В прямоугольном $ \triangle ABC $: $ \angle BCA = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle BAC = 90^{\circ} - \angle BAC $.
В прямоугольном $ \triangle DCB $: $ \angle CBD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle CDB = 90^{\circ} - \angle CDB $.

Так как по условию $ \angle BAC = \angle CDB $, то и выражения $ 90^{\circ} - \angle BAC $ и $ 90^{\circ} - \angle CDB $ равны. Следовательно, $ \angle BCA = \angle CBD $.

Теперь сравним треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle DCB $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам):
- $ BC $ — общая сторона.
- $ \angle ABC = \angle DCB = 90^{\circ} $ (углы, прилежащие к стороне $ BC $).
- $ \angle BCA = \angle CBD $ (углы, прилежащие к стороне $ BC $, как доказано выше).

Таким образом, $ \triangle ABC = \triangle DCB $.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. $ AC $ и $ BD $ являются гипотенузами в этих прямоугольных треугольниках (лежат напротив прямых углов $ \angle ABC $ и $ \angle DCB $ соответственно), поэтому они являются соответственными сторонами.
Следовательно, $ AC = BD $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ AC = BD $ доказано.