Номер 128, страница 93 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

128. Может ли наименьшая сторона треугольника лежать против угла $69^\circ$?

128. Может ли наименьшая сторона треугольника лежать против угла $69^\circ$?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся свойством соотношения сторон и углов треугольника: в любом треугольнике против меньшей стороны лежит меньший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

Предположим, что такой треугольник существует. Если наименьшая сторона треугольника лежит против угла в $69^{\circ}$, то этот угол должен быть наименьшим в данном треугольнике.

Обозначим углы треугольника как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Пусть $\alpha = 69^{\circ}$ и это наименьший угол. Тогда два других угла должны быть не меньше этого значения:
$\beta \ge 69^{\circ}$
$\gamma \ge 69^{\circ}$

Сумма углов в любом треугольнике всегда равна $180^{\circ}$:
$\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$

Исходя из нашего предположения, найдем минимально возможную сумму углов в таком треугольнике:
$\alpha + \beta + \gamma \ge 69^{\circ} + 69^{\circ} + 69^{\circ}$
$\alpha + \beta + \gamma \ge 207^{\circ}$

Мы получили противоречие. Сумма углов в предполагаемом треугольнике должна быть не менее $207^{\circ}$, что невозможно, так как она всегда строго равна $180^{\circ}$. Следовательно, наше первоначальное предположение о существовании такого треугольника неверно.

В общем случае, наименьший угол в любом треугольнике не может быть больше $60^{\circ}$. Если бы наименьший угол был больше $60^{\circ}$, то сумма всех трех углов была бы больше, чем $3 \times 60^{\circ} = 180^{\circ}$.

Ответ: нет, не может.