Номер 121, страница 92 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

121. Высота $CH$ и биссектриса $AM$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) пересекаются в точке $O$.

Найдите острые углы треугольника $ABC$, если $\angle AOH = 77^\circ$.

121. Высота $CH$ и биссектриса $AM$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) пересекаются в точке $O$. Найдите острые углы треугольника $ABC$, если $\angle AOH = 77^\circ$.

Рассмотрим треугольник $AOH$, образованный пересечением высоты $CH$ и биссектрисы $AM$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, следовательно, для $\triangle AOH$ справедливо равенство:
$\angle OAH + \angle AHO + \angle AOH = 180^\circ$.

Определим величины углов в этом равенстве:

• $CH$ — высота, проведенная к гипотенузе $AB$, поэтому $CH \perp AB$. Это означает, что $\angle CHA = 90^\circ$. Угол $\angle AHO$ в треугольнике $AOH$ является этим же углом, так что $\angle AHO = 90^\circ$.
• $AM$ — биссектриса угла $\angle A$, поэтому она делит его пополам. Следовательно, $\angle OAH = \frac{1}{2}\angle A$.
• По условию задачи, $\angle AOH = 77^\circ$.

Подставим известные значения в уравнение суммы углов треугольника $AOH$ и решим его относительно $\angle A$:
$\frac{1}{2}\angle A + 90^\circ + 77^\circ = 180^\circ$
$\frac{1}{2}\angle A + 167^\circ = 180^\circ$
$\frac{1}{2}\angle A = 180^\circ - 167^\circ$
$\frac{1}{2}\angle A = 13^\circ$
$\angle A = 2 \cdot 13^\circ = 26^\circ$

Мы нашли один из острых углов прямоугольного треугольника $ABC$. Второй острый угол, $\angle B$, найдем из свойства, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$:
$\angle A + \angle B = 90^\circ$
$\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 26^\circ = 64^\circ$

Ответ: острые углы треугольника $ABC$ равны $26^\circ$ и $64^\circ$.