Номер 115, страница 92 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

115. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из них в 2 раза больше другого. Сколько решений имеет задача?

115. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из них в 2 раза больше другого. Сколько решений имеет задача?

В равнобедренном треугольнике два угла при основании равны. Сумма всех углов в любом треугольнике составляет $180^{\circ}$. Условие, что один угол в 2 раза больше другого, приводит к двум возможным случаям.

Случай 1: Угол при вершине в 2 раза больше угла при основании.

Пусть каждый из равных углов при основании равен $x$. Тогда угол при вершине, который в 2 раза больше, будет равен $2x$.

Составим уравнение, исходя из свойства о сумме углов треугольника:

$x + x + 2x = 180^{\circ}$

$4x = 180^{\circ}$

$x = \frac{180^{\circ}}{4} = 45^{\circ}$

Таким образом, углы при основании равны по $45^{\circ}$, а угол при вершине равен $2 \cdot 45^{\circ} = 90^{\circ}$.

Проверка: $45^{\circ} + 45^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$.

Ответ: $45^{\circ}$, $45^{\circ}$, $90^{\circ}$.

Случай 2: Угол при основании в 2 раза больше угла при вершине.

Пусть угол при вершине равен $y$. Тогда каждый из двух равных углов при основании будет равен $2y$.

Составим уравнение:

$y + 2y + 2y = 180^{\circ}$

$5y = 180^{\circ}$

$y = \frac{180^{\circ}}{5} = 36^{\circ}$

Таким образом, угол при вершине равен $36^{\circ}$, а углы при основании равны по $2 \cdot 36^{\circ} = 72^{\circ}$.

Проверка: $36^{\circ} + 72^{\circ} + 72^{\circ} = 180^{\circ}$.

Ответ: $36^{\circ}$, $72^{\circ}$, $72^{\circ}$.

Таким образом, задача имеет два решения.