Номер 111, страница 91 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

111. Один из углов треугольника равен $104^\circ$. Может ли внешний угол треугольника, не смежный с ним, быть равным: 1) $105^\circ$; 2) $103^\circ$?

111. Один из углов треугольника равен $104^\circ$. Может ли внешний угол треугольника, не смежный с ним, быть равным:

1) $105^\circ$;

2) $103^\circ$?

Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. По условию, один из углов равен $104^\circ$. Пусть это будет угол $\alpha$, то есть $\alpha = 104^\circ$.

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Как следствие, внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Рассмотрим внешний угол, не смежный с углом $\alpha = 104^\circ$. Это может быть либо внешний угол при вершине с внутренним углом $\beta$, либо при вершине с внутренним углом $\gamma$.

Пусть это внешний угол при вершине с углом $\beta$. Обозначим его $\beta_{внешн.}$. По теореме он равен сумме двух не смежных с ним внутренних углов:$\beta_{внешн.} = \alpha + \gamma$.

Так как $\alpha = 104^\circ$, а $\gamma$ — это угол треугольника (то есть $\gamma > 0^\circ$), то:$\beta_{внешн.} = 104^\circ + \gamma$.Из этого следует, что любой внешний угол, не смежный с углом в $104^\circ$, должен быть строго больше $104^\circ$.

Проверим, может ли внешний угол быть равен $105^\circ$.Сравним это значение с $104^\circ$: $105^\circ > 104^\circ$.Это условие выполняется. Мы можем найти углы такого треугольника.Если $\beta_{внешн.} = 105^\circ$, то $105^\circ = 104^\circ + \gamma$.Отсюда $\gamma = 105^\circ - 104^\circ = 1^\circ$.Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\beta$ равен:$\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma = 180^\circ - 104^\circ - 1^\circ = 75^\circ$.Мы получили треугольник с углами $104^\circ$, $75^\circ$ и $1^\circ$, который может существовать.Следовательно, внешний угол, не смежный с углом $104^\circ$, может быть равен $105^\circ$.
Ответ: да, может.

Проверим, может ли внешний угол быть равен $103^\circ$.Сравним это значение с $104^\circ$: $103^\circ < 104^\circ$.Как было установлено ранее, внешний угол, не смежный с углом $\alpha = 104^\circ$, должен быть строго больше $104^\circ$. Это условие не выполняется.Если мы предположим, что $\beta_{внешн.} = 103^\circ$, то получим:$103^\circ = 104^\circ + \gamma$.Отсюда $\gamma = 103^\circ - 104^\circ = -1^\circ$.Угол треугольника не может быть отрицательной величиной, следовательно, такой треугольник не существует.Следовательно, внешний угол, не смежный с углом $104^\circ$, не может быть равен $103^\circ$.
Ответ: нет, не может.