Номер 107, страница 91 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

107. Найдите на рисунке 250 неизвестные углы равнобедренного треугольника FKE ($FK = KE$).

Рис. 250

На изображении показан треугольник FKE. Стороны FK и KE отмечены одинаковыми штрихами. Угол $39^\circ$ расположен у вершины E.

На изображении показан треугольник FKE. Стороны FK и KE отмечены одинаковыми штрихами. Угол $136^\circ$ расположен у вершины K.

107. Найдите на рисунке 250 неизвестные углы равнобедренного треугольника FKE ($FK = KE$).

Рис. 250

а

$39^\circ$

б

$136^\circ$

а

На рисунке а угол, равный $39°$, и внутренний угол треугольника $\angle KEF$ показаны как вертикальные углы (несмотря на то, что чертеж может быть истолкован как смежные углы, такой вариант приводит к противоречию, так как сумма двух углов треугольника окажется больше $180°$). Вертикальные углы равны, следовательно, $\angle KEF = 39°$.

По условию, треугольник $FKE$ — равнобедренный, так как $FK = KE$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Основанием является сторона $FE$, значит, угол напротив стороны $KE$ ($\angle KFE$) равен углу напротив стороны $FK$ ($\angle KEF$).

$\angle KFE = \angle KEF = 39°$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180°$. Третий угол треугольника, $\angle FKE$, можно найти по формуле: $\angle FKE = 180° - (\angle KFE + \angle KEF)$.

Подставим известные значения: $\angle FKE = 180° - (39° + 39°) = 180° - 78° = 102°$.

Ответ: $\angle KEF = 39°$, $\angle KFE = 39°$, $\angle FKE = 102°$.

б

На рисунке б угол, равный $136°$, является внешним углом треугольника $FKE$ при вершине $K$. Этот угол и внутренний угол $\angle FKE$ являются смежными.

Сумма смежных углов равна $180°$, поэтому мы можем найти внутренний угол при вершине $K$: $\angle FKE = 180° - 136° = 44°$.

Так как треугольник $FKE$ — равнобедренный с основанием $FE$ ($FK = KE$), углы при основании равны: $\angle KFE = \angle KEF$.

Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Сумма двух равных углов при основании составляет: $\angle KFE + \angle KEF = 180° - \angle FKE = 180° - 44° = 136°$.

Так как углы при основании равны, то каждый из них равен: $\angle KFE = \angle KEF = 136° / 2 = 68°$.

Ответ: $\angle FKE = 44°$, $\angle KFE = 68°$, $\angle KEF = 68°$.