Номер 101, страница 90 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

101. На биссектрисе угла $ABC$ отметили точку $P$ и через неё провели прямую, параллельную стороне $BC$. Эта прямая пересекла сторону $BA$ в точке $N$. Найдите углы $BPN$ и $BNP$, если $\angle ABC = 120^\circ$.

101. На биссектрисе угла $ABC$ отметили точку $P$ и через неё провели прямую, параллельную стороне $BC$. Эта прямая пересекла сторону $BA$ в точке $N$. Найдите углы $BPN$ и $BNP$, если $\angle ABC = 120^\circ$.

Найдите углы BPN и BNP

По условию задачи, луч BP является биссектрисой угла ABC. Это означает, что он делит угол ABC на два равных угла: $\angle ABP$ и $\angle PBC$. Так как $\angle ABC = 120°$, то:
$\angle ABP = \angle PBC = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{120°}{2} = 60°$.
Поскольку точка N лежит на стороне BA, то угол $\angle ABP$ совпадает с углом $\angle NBP$. Следовательно, $\angle NBP = 60°$.

Также по условию, прямая NP параллельна стороне BC ($NP \parallel BC$). Рассмотрим эти параллельные прямые и секущую BP. Углы $\angle BPN$ и $\angle PBC$ являются накрест лежащими углами. При параллельных прямых накрест лежащие углы равны.
Следовательно, $\angle BPN = \angle PBC$.
Так как мы уже нашли, что $\angle PBC = 60°$, то и $\angle BPN = 60°$.

Теперь рассмотрим треугольник BPN. Сумма углов в любом треугольнике равна 180°.
$\angle BNP + \angle NBP + \angle BPN = 180°$.
Мы уже знаем два угла этого треугольника: $\angle NBP = 60°$ и $\angle BPN = 60°$. Подставим известные значения в формулу:
$\angle BNP + 60° + 60° = 180°$
$\angle BNP + 120° = 180°$
$\angle BNP = 180° - 120°$
$\angle BNP = 60°$.

Ответ: $\angle BPN = 60°$, $\angle BNP = 60°$.