Номер 96, страница 89 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

96. На рисунке 244 $KP = FP$, $\angle MFK = \angle EFK$, $FK \perp ME$. Докажите, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны.

Рис. 244

96. На рисунке 244 $KP = FP$, $\angle MFK = \angle EFK$, $FK \perp ME$. Докажите, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники $\Delta KPE$ и $\Delta FPE$. По условию задачи прямая $FK$ перпендикулярна прямой $ME$ ($FK \perp ME$), следовательно, углы, образованные их пересечением, прямые: $\angle KPE = \angle FPE = 90^\circ$. Таким образом, треугольники $\Delta KPE$ и $\Delta FPE$ являются прямоугольными.

2. В этих прямоугольных треугольниках:

• катет $KP$ равен катету $FP$ по условию ($KP = FP$);
• катет $PE$ является общим для обоих треугольников.

3. Следовательно, прямоугольные треугольники $\Delta KPE$ и $\Delta FPE$ равны по двум катетам (что является частным случаем первого признака равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними).

4. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны их углы: $\angle PKE = \angle PFE$.

5. Угол $\angle PKE$ — это тот же самый угол, что и $\angle FKE$. Угол $\angle PFE$ — это тот же самый угол, что и $\angle KFE$. Таким образом, из равенства $\angle PKE = \angle PFE$ следует, что $\angle FKE = \angle KFE$.

6. Также, по условию задачи нам дано, что $\angle MFK = \angle EFK$. Угол $\angle EFK$ и угол $\angle KFE$ — это один и тот же угол. Значит, мы можем записать, что $\angle MFK = \angle KFE$.

7. Теперь сопоставим равенства, полученные в пунктах 5 и 6:

• $\angle FKE = \angle KFE$
• $\angle MFK = \angle KFE$

Из этих двух равенств следует, что $\angle FKE = \angle MFK$.

8. Углы $\angle FKE$ и $\angle MFK$ являются накрест лежащими углами при пересечении прямых $AB$ и $CD$ секущей $KF$.

9. Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то такие прямые параллельны. Поскольку мы доказали, что $\angle FKE = \angle MFK$, то прямые $AB$ и $CD$ параллельны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Параллельность прямых $AB$ и $CD$ доказана.