Номер 102, страница 90 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

102. На рисунке 247 биссектрисы углов $AMP$ и $BMP$ пересекают прямую $CD$ в точках $F$ и $E$. Докажите, что если $MP = PE$, то $FP = PE$.

Рис. 247

102. На рисунке 247 биссектрисы углов $AMP$ и $BMP$ пересекают прямую $CD$ в точках $F$ и $E$. Докажите, что если $MP = PE$, то $FP = PE$.

Рис. 247

Рассмотрим треугольник $MPE$. По условию задачи дано, что $MP = PE$. Это означает, что треугольник $MPE$ является равнобедренным с основанием $ME$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle PME = \angle PEM$.

Также по условию, луч $ME$ является биссектрисой угла $BMP$. По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла, то есть $\angle BME = \angle PME$.

Из двух полученных равенств ($\angle PME = \angle PEM$ и $\angle BME = \angle PME$) следует, что $\angle BME = \angle PEM$. Углы $\angle BME$ и $\angle PEM$ являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении прямых $AB$ и $CD$ секущей $ME$. Поскольку эти накрест лежащие углы равны, то прямые $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$).

Теперь, используя доказанный факт параллельности прямых $AB$ и $CD$, рассмотрим их пересечение с секущей $MF$. Углы $\angle AMF$ и $\angle MFP$ являются внутренними накрест лежащими. Так как $AB \parallel CD$, эти углы равны: $\angle AMF = \angle MFP$.

По условию, луч $MF$ является биссектрисой угла $AMP$. Следовательно, $\angle AMF = \angle FMP$.

Сравнивая два последних равенства ($\angle AMF = \angle MFP$ и $\angle AMF = \angle FMP$), мы заключаем, что $\angle MFP = \angle FMP$.

Рассмотрим треугольник $FMP$. Так как два его угла, $\angle MFP$ и $\angle FMP$, равны, то этот треугольник является равнобедренным с основанием $MF$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Отсюда следует, что $FP = MP$.

Таким образом, мы установили, что $FP = MP$. Учитывая данное в условии равенство $MP = PE$, по свойству транзитивности получаем, что $FP = PE$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: равенство $FP = PE$ доказано.