Номер 100, страница 90 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

100. На рисунке 246 прямые $AB$ и $CD$ параллельны. Докажите, что биссектрисы углов $APM$ и $DKN$ параллельны.

Рис. 246

100. На рисунке 246 прямые $AB$ и $CD$ параллельны. Докажите, что биссектрисы углов $APM$ и $DKN$ параллельны.

Рис. 246

По условию задачи, прямые $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$), а прямая $MN$ является секущей.

1. Рассмотрим углы $∠APM$ и $∠CKP$. Они являются соответственными при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $MN$. Следовательно, эти углы равны:
$∠APM = ∠CKP$.

2. Пусть $PL$ — биссектриса угла $∠APM$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам:
$∠APL = \frac{1}{2}∠APM$.

3. Рассмотрим угол $∠DKN$. Он является вертикальным с углом $∠CKP$. Следовательно, они равны:
$∠DKN = ∠CKP$.

4. Из равенств в пунктах 1 и 3 следует, что $∠APM = ∠DKN$.

5. Пусть $KF$ — биссектриса угла $∠DKN$. По определению биссектрисы:
$∠DKF = \frac{1}{2}∠DKN$.

6. Так как $∠APM = ∠DKN$, то и половины этих углов равны: $\frac{1}{2}∠APM = \frac{1}{2}∠DKN$.
Следовательно, $∠APL = ∠DKF$.

7. Теперь докажем параллельность биссектрис $PL$ и $KF$. Для этого воспользуемся другим свойством углов. Углы $∠APM$ и $∠PKD$ являются соответственными, значит $∠APM = ∠PKD$.
Так как $PL$ — биссектриса $∠APM$, то $∠APL = \frac{1}{2}∠APM = \frac{1}{2}∠PKD$.

8. Углы $∠PKD$ и $∠DKN$ — смежные, их сумма равна $180^\circ$.
$∠PKD + ∠DKN = 180^\circ$.

9. Рассмотрим сумму углов $∠LPK$ и $∠PKF$. Угол $∠LPK$ состоит из угла $∠APL$ и угла $∠APK$.
$∠LPK = ∠APL + ∠APK = \frac{1}{2}∠PKD + ∠APK$.
Угол $∠PKF$ по определению равен $∠PKD + ∠DKF = ∠PKD + \frac{1}{2}∠DKN$.
Этот подход усложняет доказательство. Вернемся к более простому методу с использованием вспомогательной биссектрисы.

Доказательство (альтернативный, более строгий способ):
1. Как было показано ранее, соответственные углы $∠APM$ и $∠CKP$ равны.
2. Пусть $PL$ — биссектриса $∠APM$, а $KG$ — биссектриса $∠CKP$.
3. Из равенства $∠APM = ∠CKP$ следует равенство их половин: $\frac{1}{2}∠APM = \frac{1}{2}∠CKP$, то есть $∠APL = ∠PKG$.
4. Углы $∠APL$ и $∠PKG$ являются соответственными для прямых $PL$, $KG$ и секущей $MN$. Так как эти углы равны, то прямые $PL$ и $KG$ параллельны: $PL \parallel KG$.
5. Углы $∠CKP$ и $∠DKN$ — вертикальные. Биссектриса $KF$ угла $∠DKN$ и биссектриса $KG$ угла $∠CKP$ являются продолжением друг друга и лежат на одной прямой.
6. Поскольку $PL \parallel KG$, а прямая $KG$ совпадает с прямой $KF$, то $PL \parallel KF$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.