Номер 95, страница 89 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

95. На рисунке 243 $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$, $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$. Докажите, что прямые $BC$ и $B_1C_1$ параллельны.

Рис. 243

95. На рисунке 243 $AB = A_1 B_1$, $AC = A_1 C_1$, $\angle BAC = \angle B_1 A_1 C_1$. Докажите, что прямые $BC$ и $B_1 C_1$ параллельны.

Для доказательства параллельности прямых $BC$ и $B_1C_1$ рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

По условию задачи нам дано:

1. $AB = A_1B_1$ (равные стороны)
2. $AC = A_1C_1$ (равные стороны)
3. $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$ (равные углы между этими сторонами)

На основании этих данных, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), мы можем заключить, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Из равенства треугольников следует, что все их соответствующие элементы равны, включая углы. Следовательно, угол $\angle BCA$ треугольника $ABC$ равен соответствующему углу $\angle B_1C_1A_1$ треугольника $A_1B_1C_1$. То есть, $\angle BCA = \angle B_1C_1A_1$.

Теперь рассмотрим прямые $BC$ и $B_1C_1$ и прямую $AA_1$, которая их пересекает и является секущей. Углы $\angle BCA$ и $\angle B_1C_1A_1$ являются накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых $BC$ и $B_1C_1$ секущей $AA_1$.

Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны. Так как мы доказали, что $\angle BCA = \angle B_1C_1A_1$, то прямые $BC$ и $B_1C_1$ параллельны ($BC \parallel B_1C_1$).

Ответ: Прямые $BC$ и $B_1C_1$ параллельны.