Номер 90, страница 88 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

90. На рисунке 238 $\angle ABC = \angle ACB$, $BK = KC$, $DF = DE$, $\angle FDM = \angle EDM$. Докажите, что прямые $a$ и $b$ параллельны.

Рис. 238

90. На рисунке 238 $\angle ABC = \angle ACB$, $BK = KC$, $DF = DE$, $\angle FDM = \angle EDM$. Докажите, что прямые $a$ и $b$ параллельны.

Рис. 238

Для доказательства параллельности прямых $a$ и $b$ воспользуемся признаком параллельности: если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны. В данном случае докажем, что обе прямые, $a$ и $b$, перпендикулярны секущей, проходящей через точки $A, K, F, M, E$.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Согласно условию, $\angle ABC = \angle ACB$. Это означает, что треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $BC$. По условию, $BK = KC$, следовательно, точка $K$ является серединой основания $BC$, а отрезок $AK$ — медианой, проведенной к основанию.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, также является и высотой. Отсюда следует, что $AK \perp BC$. Поскольку прямая $a$ проходит через точки $B$ и $C$, то прямая $a$ перпендикулярна отрезку $AK$, который лежит на секущей. Таким образом, прямая $a$ перпендикулярна секущей.

2. Рассмотрим треугольник $FDE$. Согласно условию, $DF = DE$, что означает, что треугольник $FDE$ — равнобедренный с основанием $FE$. По условию, $\angle FDM = \angle EDM$, следовательно, отрезок $DM$ является биссектрисой угла $\angle FDE$, проведенной к основанию.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины к основанию, также является и высотой. Отсюда следует, что $DM \perp FE$. Поскольку прямая $b$ содержит отрезок $DM$, а отрезок $FE$ лежит на секущей, то прямая $b$ перпендикулярна этой же секущей.

3. Мы доказали, что прямая $a$ перпендикулярна секущей и прямая $b$ перпендикулярна той же секущей. Следовательно, по признаку параллельности прямых, прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$). Что и требовалось доказать.

Ответ: Прямые $a$ и $b$ параллельны.