Номер 86, страница 87 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

86. На сторонах $BC$ и $B_1C_1$ треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ отметили соответственно точки $D$ и $D_1$. Докажите равенство треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$, если $AD = A_1D_1$, $BD = B_1D_1$, $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$.

86. На сторонах $BC$ и $B_1C_1$ треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ отметили соответственно точки $D$ и $D_1$. Докажите равенство треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$, если $AD = A_1D_1$, $BD = B_1D_1$, $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$.

Для доказательства равенства треугольников $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ воспользуемся данными из условия задачи.

Шаг 1: Докажем равенство треугольников $ \triangle ABD $ и $ \triangle A_1B_1D_1 $.

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABD $ и $ \triangle A_1B_1D_1 $. По условию нам известно, что:
1. $ AB = A_1B_1 $ (сторона)
2. $ BD = B_1D_1 $ (сторона)
3. $ AD = A_1D_1 $ (сторона)

Поскольку три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то $ \triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1 $ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Шаг 2: Используем результат равенства $ \triangle ABD $ и $ \triangle A_1B_1D_1 $.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Следовательно, угол $ \angle ABD $ равен углу $ \angle A_1B_1D_1 $.

Поскольку точка $ D $ лежит на стороне $ BC $, то угол $ \angle ABD $ совпадает с углом $ \angle ABC $. Аналогично, точка $ D_1 $ лежит на стороне $ B_1C_1 $, поэтому угол $ \angle A_1B_1D_1 $ совпадает с углом $ \angle A_1B_1C_1 $. Таким образом, мы доказали, что $ \angle ABC = \angle A_1B_1C_1 $.

Шаг 3: Докажем равенство треугольников $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $.

Теперь рассмотрим исходные треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. У них:
1. $ AB = A_1B_1 $ (по условию)
2. $ BC = B_1C_1 $ (по условию)
3. $ \angle ABC = \angle A_1B_1C_1 $ (доказано в шаге 2)

Таким образом, треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: Равенство треугольников $ ABC $ и $ A_1B_1C_1 $ доказано, что и требовалось сделать.