Номер 84, страница 87 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

84. На стороне $QD$ треугольника $TQD$ отметили точку $F$ так, что $DF : FQ = 1 : 4$. Биссектриса $QE$ пересекает отрезок $TF$ в его середине. Найдите $TQ$, если известно, что $DF = 3$ см.

84. На стороне $QD$ треугольника $TQD$ отметили точку $F$ так, что $DF : FQ = 1 : 4$. Биссектриса $QE$ пересекает отрезок $TF$ в его середине. Найдите $TQ$, если известно, что $DF = 3$ см.

По условию задачи, точка $F$ лежит на стороне $QD$ треугольника $TQD$ и делит ее в отношении $DF : FQ = 1 : 4$. Нам известно, что $DF = 3$ см.

Найдем длину отрезка $FQ$. Так как $DF : FQ = 1 : 4$, то $FQ = 4 \cdot DF$.
$FQ = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Теперь найдем длину всей стороны $QD$:
$QD = DF + FQ = 3 + 12 = 15$ см.

Пусть $M$ – точка пересечения биссектрисы $QE$ и отрезка $TF$. По условию, $M$ является серединой отрезка $TF$, то есть $TM = MF$.

Рассмотрим треугольник $TDF$ и секущую $QME$, которая пересекает сторону $TF$ в точке $M$, сторону $TD$ в точке $E$ и продолжение стороны $DF$ в точке $Q$.

По теореме Менелая для треугольника $TDF$ и секущей $QME$ справедливо равенство:
$\frac{DQ}{QF} \cdot \frac{FM}{MT} \cdot \frac{TE}{ED} = 1$

Подставим в это равенство известные нам отношения:
1. Отношение $\frac{DQ}{QF} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$.
2. Так как $M$ – середина $TF$, то $\frac{FM}{MT} = 1$.

Получаем:
$\frac{5}{4} \cdot 1 \cdot \frac{TE}{ED} = 1$
Отсюда находим отношение, в котором биссектриса делит сторону $TD$:
$\frac{TE}{ED} = \frac{4}{5}$

Теперь применим свойство биссектрисы для треугольника $TQD$. Биссектриса $QE$ делит противолежащую сторону $TD$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам $TQ$ и $QD$:
$\frac{TQ}{QD} = \frac{TE}{ED}$

Мы уже нашли, что $\frac{TE}{ED} = \frac{4}{5}$, следовательно:
$\frac{TQ}{QD} = \frac{4}{5}$

Выразим $TQ$:
$TQ = \frac{4}{5} \cdot QD$
Подставим известное значение $QD = 15$ см:
$TQ = \frac{4}{5} \cdot 15 = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Ответ: 12 см.