Номер 78, страница 86 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

78. В равнобедренном треугольнике $ACK$ на боковых сторонах $AC$ и $CK$ соответственно отметили точки $D$ и $F$ так, что $CD = CF$. Докажите, что $\angle DKA = \angle FAK$.

78. В равнобедренном треугольнике $ACK$ на боковых сторонах $AC$ и $CK$ соответственно отметили точки $D$ и $F$ так, что $CD = CF$. Докажите, что $\angle DKA = \angle FAK$.

Для доказательства равенства углов $\angle DKA$ и $\angle FAK$ рассмотрим треугольники, содержащие эти углы: $\triangle AKD$ и $\triangle KAF$.

По условию задачи, треугольник $ACK$ — равнобедренный с боковыми сторонами $AC$ и $CK$. Это означает, что $AC = CK$ и углы при основании $AK$ равны, то есть $\angle CAK = \angle CKA$.

Также по условию, на сторонах $AC$ и $CK$ выбраны точки $D$ и $F$ таким образом, что $CD = CF$.

Рассмотрим отрезки $AD$ и $FK$. Их длины можно выразить через длины других отрезков: $AD = AC - CD$ и $FK = CK - CF$. Поскольку из условия нам известно, что $AC=CK$ и $CD=CF$, мы можем заключить, что $AD = FK$.

Теперь сравним треугольники $\triangle AKD$ и $\triangle KAF$. Мы установили, что сторона $AD$ равна стороне $FK$. Угол $\angle DAK$ (который является углом $\angle CAK$) равен углу $\angle FKA$ (который является углом $\angle CKA$). Сторона $AK$ является общей для обоих треугольников. Таким образом, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle AKD = \triangle KAF$.

В равных треугольниках соответствующие углы равны. Угол $\angle DKA$ в треугольнике $\triangle AKD$ лежит напротив стороны $AD$. Угол $\angle FAK$ в треугольнике $\triangle KAF$ лежит напротив стороны $FK$. Так как стороны $AD$ и $FK$ равны, то и противолежащие им углы равны: $\angle DKA = \angle FAK$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle DKA = \angle FAK$ доказано.