Номер 81, страница 86 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

81. Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. На продолжении его медианы $BD$ за точку $D$ отметили точку $K$. Докажите, что треугольник $AKC$ равнобедренный.

81. Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. На продолжении его медианы $BD$ за точку $D$ отметили точку $K$. Докажите, что треугольник $AKC$ равнобедренный.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По условию, $BD$ является медианой, проведенной к основанию.

По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также высотой. Следовательно, отрезок $BD$ перпендикулярен основанию $AC$, то есть $BD \perp AC$. Это означает, что углы, образованные медианой и основанием, являются прямыми: $\angle BDA = \angle BDC = 90^\circ$.

Точка $K$ лежит на продолжении медианы $BD$ за точку $D$. Это значит, что точки $B$, $D$ и $K$ находятся на одной прямой. Следовательно, вся прямая $BK$ перпендикулярна прямой $AC$. Таким образом, углы $\angle ADK$ и $\angle CDK$ также равны $90^\circ$.

Теперь сравним треугольники $\triangle ADK$ и $\triangle CDK$.

- Сторона $AD$ равна стороне $CD$, так как $BD$ — медиана и делит сторону $AC$ пополам.
- Сторона $DK$ является общей для обоих треугольников.
- Угол $\angle ADK$ равен углу $\angle CDK$, поскольку оба они прямые ($\angle ADK = \angle CDK = 90^\circ$).

Таким образом, $\triangle ADK$ равен $\triangle CDK$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В нашем случае, сторона $AK$ из $\triangle ADK$ соответствует стороне $CK$ из $\triangle CDK$. Следовательно, $AK = CK$.

Поскольку в треугольнике $AKC$ две стороны ($AK$ и $CK$) равны, по определению он является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что треугольник $AKC$ является равнобедренным.