Номер 82, страница 87 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

82. На медиане $BM$ треугольника $ABC$ отметили точку $K$. Докажите, что если $\angle AKM = \angle CKM$, то треугольник $ABC$ – равнобедренный.

82. На медиане $BM$ треугольника $ABC$ отметили точку $K$. Докажите, что если $\angle AKM = \angle CKM$, то треугольник $ABC$ — равнобедренный.

Рассмотрим треугольники $ \triangle AKM $ и $ \triangle CKM $.

По условию задачи, $ BM $ - медиана треугольника $ \triangle ABC $, следовательно, точка $ M $ является серединой стороны $ AC $. Это означает, что отрезки $ AM $ и $ CM $ равны: $ AM = CM $.

Также по условию дано равенство углов $ \angle AKM = \angle CKM $. Сторона $ KM $ является общей для обоих треугольников.

Для доказательства воспользуемся теоремой синусов. Применим ее к треугольнику $ \triangle AKM $:

$ \frac{AK}{\sin(\angle AMK)} = \frac{AM}{\sin(\angle AKM)} $

Теперь применим теорему синусов к треугольнику $ \triangle CKM $:

$ \frac{CK}{\sin(\angle CMK)} = \frac{CM}{\sin(\angle CKM)} $

Углы $ \angle AMK $ и $ \angle CMK $ являются смежными, так как точки $ A, M, C $ лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна $ 180^\circ $, то есть $ \angle AMK + \angle CMK = 180^\circ $. Синусы смежных углов равны, поэтому $ \sin(\angle AMK) = \sin(180^\circ - \angle CMK) = \sin(\angle CMK) $.

Из первого уравнения, полученного по теореме синусов, выразим сторону $ AK $: $ AK = \frac{AM \cdot \sin(\angle AMK)}{\sin(\angle AKM)} $.

Из второго уравнения выразим сторону $ CK $: $ CK = \frac{CM \cdot \sin(\angle CMK)}{\sin(\angle CKM)} $.

Сравним правые части этих выражений. Нам известно, что $ AM = CM $, $ \angle AKM = \angle CKM $ (а значит и $ \sin(\angle AKM) = \sin(\angle CKM) $), и мы установили, что $ \sin(\angle AMK) = \sin(\angle CMK) $. Следовательно, правые части выражений для $ AK $ и $ CK $ равны. Это означает, что и левые части должны быть равны, то есть $ AK = CK $.

Теперь рассмотрим треугольник $ \triangle AKC $. Поскольку две его стороны равны ($ AK = CK $), он является равнобедренным с основанием $ AC $.

Отрезок $ KM $ в этом треугольнике соединяет вершину $ K $ с точкой $ M $, которая является серединой основания $ AC $. Таким образом, $ KM $ является медианой треугольника $ \triangle AKC $. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Отсюда следует, что $ KM \perp AC $.

По условию точка $ K $ лежит на отрезке $ BM $, поэтому отрезок $ KM $ является частью отрезка $ BM $. Если часть отрезка перпендикулярна прямой, то и весь отрезок перпендикулярен этой прямой. Значит, $ BM \perp AC $.

В исходном треугольнике $ \triangle ABC $ отрезок $ BM $ является медианой (по условию) и высотой (как только что было доказано). Если в треугольнике медиана одновременно является высотой, то такой треугольник является равнобедренным.

Следовательно, треугольник $ \triangle ABC $ — равнобедренный, и его боковые стороны $ AB $ и $ BC $ равны.

Ответ: Что и требовалось доказать.