Номер 83, страница 87 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

83. На рисунке 233 $ \angle OME = \angle OEM $, $ \angle PMO = \angle PEO $. Докажите, что $ \triangle MOP = \triangle EOP $.

Рис. 233

83. На рисунке 233 $\angle OME = \angle OEM$, $\angle PMO = \angle PEO$. Докажите, что $\triangle MOP = \triangle EOP$.

Рис. 233

Рассмотрим треугольник $ΔOME$. По условию задачи, $∠OME = ∠OEM$. В треугольнике против равных углов лежат равные стороны. Следовательно, треугольник $ΔOME$ является равнобедренным с основанием $ME$, и его боковые стороны равны: $OM = OE$.

Теперь рассмотрим углы $∠PME$ и $∠PEM$. Угол $∠PME$ состоит из суммы двух углов: $∠PME = ∠PMO + ∠OME$. Аналогично, угол $∠PEM$ состоит из суммы углов $∠PEM = ∠PEO + ∠OEM$.

По условию нам даны два равенства:

1) $∠OME = ∠OEM$

2) $∠PMO = ∠PEO$

Сложив левые и правые части этих равенств, получим: $∠PMO + ∠OME = ∠PEO + ∠OEM$. Из этого следует, что $∠PME = ∠PEM$.

Рассмотрим треугольник $ΔPME$. Поскольку в этом треугольнике углы при основании $ME$ равны ($∠PME = ∠PEM$), он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, значит, $PM = PE$.

Наконец, сравним треугольники $ΔMOP$ и $ΔEOP$. Для этого рассмотрим их стороны:

$OM = OE$ (доказано ранее, так как $ΔOME$ — равнобедренный).
$PM = PE$ (доказано ранее, так как $ΔPME$ — равнобедренный).
$OP$ — общая сторона для обоих треугольников.

Таким образом, три стороны треугольника $ΔMOP$ соответственно равны трем сторонам треугольника $ΔEOP$. Согласно третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $ΔMOP = ΔEOP$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ΔMOP$ и $ΔEOP$ доказано на основании третьего признака равенства треугольников (по трем сторонам).